عرض مصدر حساب المثلثات

{{بطاقة عامة}}
{{شريط جانبي حساب المثلثات}}
[[ملف:Circle-trig6.svg|تصغير|350px|يسار|جميع قيم [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] لزاوية ''θ'' يمكن أن تُرسم هندسيا في خضم دائرة وحدة مركزها ''O''.]]
'''علم المثلثات''' أو '''حساب المثلثات''' {{لات|Trigonometria}} هو فرع من فروع [[رياضيات|الرياضيات]] يدرس [[زاوية (هندسة)|الزوايا]] و[[مثلث|المثلثات]] و[[دوال مثلثية|التوابع المثلثية]] [[جيب (رياضيات)|كالجيب]] و[[جيب التمام|الجيب التمام]].<ref>{{استشهاد بكتاب |عنوان=Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer’s Manual Combined Volumes: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B and 3C |سنة=2013 |ناشر=Intel |مسار=https://download.intel.com/products/processor/manual/325462.pdf| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20131104062923/http://download.intel.com/products/processor/manual/325462.pdf | تاريخ أرشيف = 4 نوفمبر 2013 }}</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=rNpHjqxQQ9oC&pg=PA235#v=onepage&q&f=false pp. 235–236]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171103184744/https://books.google.com/books?id=rNpHjqxQQ9oC&pg=PA235 |date=03 نوفمبر 2017}}</ref><ref>{{استشهاد ويب|مسار=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Regiomontanus/ |عنوان=Regiomontanus biography |ناشر=History.mcs.st-and.ac.uk |تاريخ الوصول=2017-03-08| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171115011657/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Regiomontanus.html | تاريخ أرشيف = 15 نوفمبر 2017 }}</ref> وهو أحد فروع علم [[هندسة رياضية|الهندسة]] العامة.

يكون المثلثان متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متطابقة، وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين [[تناسب (رياضيات)|متناسبة]]. أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول ضعف طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول يكون ضعف طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني.
اعتمادا على هذه القوانين، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين [[مثلث قائم|المثلث القائم]]. وهناك القانون القائل انه إذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، وتكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين وتعتمد فقط على قيمة الزاوية، وستكون عددا بين 0 و1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف جيب تمام  الزاوية على أنها النسبة بين الضلع المجاور لها على الوتر.

الدالتان '''الجيب ''' و'''جيب التمام''' هما أهم الدوال المثلثية. هناك أيضا توابع أخرى تُعرف بأخذ نسب أخرى من أضلاع [[مثلث (توضيح)|المثلث]] القائم، أو نسب من التابعين الأساسيين الجيب وجيب التمام، هذه التوابع هي: '''ظل (ظا)'''، '''ظل تمام(ظتا)'''، '''قاطع (قا)'''، '''وقاطع تمام (قتا)'''.
* ظل الزاوية A = '''{{كسر|جيب الزاوية|جيب تمام الزاوية}}'''
* ظل تمام الزاوية A = '''{{كسر|جيب تمام الزاوية|جيب  الزاوية}}'''
* قا (قاطع) الزاوية = '''{{كسر|1|جيب تمام  الزاوية}}''' (مقلوب الجتا)
* قاطع تمام (قتا) = '''{{كسر|1|جيب الزاوية}}''' (مقلوب الجا)

بهذا نكون قد عرفنا التوابع(الاقترانات) المثلثية للزوايا من 0 إلى 90، من الممكن توسيع هذا التعريف ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام دائرة الوحدة.
عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من الجداول أو الآلة الحاسبة) ومعرفة قيم ضلع وزاويتين أو ضلعين وزاوية أو ثلاثة أضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام [[قانون الجيب]] و[[قانون جيب التمام]] أو قانون ظل الزاوية .
* هذا بخصوص حساب المثلثات المستوية. وهناك فرع لا يقل أهمية عنه وهو حساب المثلثات على السطح الكروي، وهذا الفرع مهم بصفة خاصة في [[علم الفلك|الفلك]] وفي [[ملاحة|الملاحة]].

== التاريخ ==
{{مفصلة|تاريخ الحساب المثلثي}}

يعتبر [[مصر القديمة|القدماء المصريين]] أول من عمل بقواعد حساب المثلثات، إذ استخدموها في بناء الأهرامات وبناء معابدهم. لكن قليل من الموروث عنهم في هيئة مخطوطات، ومنها أن عرّّفوا مساحة الدائرة بكونها مساوية لتسعة أعشار مساحة المربع المحيط بها المماس لها من أربع أضلاع. وترجع معرفتنا بحساب المثلثات إلى الإغريق الذين وضعوا قوانينها، ومن أهمها هي القائمة والحادة والمنفرجة.

يعتبر [[موسوعي|العلامة]] [[فرس (قوم)|الفارسي]] [[نصير الدين الطوسي]] أول من اعتبر الحساب المثلثي فرعا مستقلا عن علم النجوم.

وصلت معرفة الدوال المثلثية إلى [[أوروبا الغربية]] من خلال [[الترجمات اللاتينية في القرن الثاني عشر|الترجمات إلى اللاتينية]] لأعمال كل من [[بطليموس]] وأعمال [[علم الفلك في عصر الحضارة الإسلامية|علماء الفلك]] الفرس والعرب من أمثال [[نصير الدين الطوسي]] و[[محمد بن جابر بن سنان البتاني|البتاني]].

كان عالم الرياضيات الهولندي [[جيما فريزيوس]] هو أول من وصف [[تثليث (تقنية)|طريقة التثليث]] و التي ما زالت مستعملة حاليا في [[مساحة|علم المساحة]].

كان عالم الرياضيات السويسري [[ليونهارت أويلر]] أول من أقحم [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] في علم المثلثات.

كان لعمل عالمي الرياضيات [[جيمس غريغوري (عالم)|جيمس جريجوري]] و[[كولين ماكلورين]] [[إسكتلندا|الاسكتلنديين]] تأثيراً كبيراً في تطور [[متسلسلة مثلثية|المتسلسلات المثلثية]]. الأول منهما عاش في القرن السابع عشر والثاني في الثامن عشر.

== نظرة عامة ==
{{مفصلة|دوال مثلثية}}
[[ملف:مثلث قائم الزاوية.svg|تصغير|245px|في هذا المثلث قائم الزاوية: {{تعبير رياضي|1= sin ''A'' = ''a''/''c'';}} {{تعبير رياضي|1= cos ''A'' = ''b''/''c'';}} {{تعبير رياضي|1= tan ''A'' = ''a''/''b''.}}]]

في المثلث القائم المبين في الشكل، يُرمز [[وتر (مثلث)|للوتر]] (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز h. فيكون تعريف خواص الزاوية A كالآتي:

* sin ، جا : جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(h/a)
* cos ، جتا: جيب تمام الزاوية A = طول الضلع المجاور / الوتر (h/b)
* tan ، ظا : ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).

تنطبق التعريفات السابقة على الزوايا بين 0 و 90 درجة (بين صفر و π/2 [[راديان]]). وباستخدام [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]] يمكن حساب الدوال المثلثية للزوايا الدائرية بين 0 و 360 درجة . في تلك الحالات يمكن أن يكون الضلع a موجباً أو سالباً (انظر [[دوال مثلثية|دالة مثلثية]]). الدوال المثلثية هي دوال دورية (تتكرر بانتظام)، ولها دورة مقدارها 360 درجة أو 2π [[راديان]]. أي أن احداثياتها تتكرر من دورة لدورة . ويمكن لظل الزاوية أو ظل تمام الزاوية أن يصل إلى الصفر عند 180 درجة أو عند 360 درجة.

=== تعريف الدالة المثلثية بالأعداد المركبة ===

[[ملف:Sin-cos-defn-I.png|يسار|تصغير|240px|Fig. 1a – تعريف جا و جيب تمام الزاوية θ باستخدام [[دائرة وحدة]] .]]

يمكن تعريف الدوال المثلثية بطريقة أخرى غير طريقة حساب المثلثات، وهي طريقة باستخدام الحساب والمتتاليات اللانهائية . ومع تلك التعريفات يمكن صياغة الدوال المثلثية [[عدد مركب|بالأعداد المركبة]] . ومن مميزات الدوال الأسية المركبة أنها تستخدم كثيرا في [[هندسة الكهرباء|الهندسة الكهربائية]] وحسابات [[تيار متردد|التيار المتردد]] و[[محرك كهربائي|المحركات الكهربائية]] وكذلك في [[علم الفلك]].

: <math>e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y).</math>

أنظر [[صيغة أويلر]] و[[صيغة دي موافر]].

== تطبيقات ==

[[ملف:Frieberger drum marine sextant.jpg|تصغير|200px|[[سدس (آلة)|السدس]] آلة تستعمل لقياس الزاوية التي تكونها الشمس أو النجوم مع الأفق. باستعمال الحساب المثلثي و[[كرونوميتر بحري]]، يمكن تحديد مكان الباخرة]].

لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة؛ منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق، وفي صناعة المحركات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب المسافات [[جغرافيا|الجغرافية]] و[[علم الفلك|الفلك]]، وفي أنظمة الاستكشاف [[قمر اصطناعي|بالأقمار الصناعية]].

انظر إلى [[تثليث (تقنية)|التثليث]].

=== تمثيل [[تيار متردد]] ب[[دائرة وحدة]] ===
هذا الشكل المتحرك يوضح حساب [[موجة جيبية]] بواسطة [[دائرة وحدة]]. الموجة الجيبية يمكن أن تمثل تيارًا مترددًا.
<gallery>
ملف:Sine curve drawing animation.gif|عملية تمثيل دالة (y = sin(x باستخدام دائرة الوحدة.
</gallery>

== صيغ عامة للدوال المثلثية ==
هناك حالة خاصة في حالة حساب جيب تمام الزاوية إذا كان 1 و0.

=== قانون الجيب ===
[[قانون الجيب]] من أجل مثلث معين ما ينص على ما يلي:
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{abc}{2\Delta},</math>

حيث <math>\Delta</math> هي مساحة المثلث و ''R'' هو شعاع [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]] بالمثلث.

=== قانون الجيب التمام ===
[[قانون جيب التمام]] هو امتداد لمبرهنة فيتاغورس حيث تبقى هذه المبرهنة صحيحة مهما كانت طبيعة هذا المثلث على عكس مبرهنة فيتاغورس التي تكتفي بالمثلثات قائمة الزاوية. تنص هذه المبرهنة على مايلي:
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,</math>

=== صيغة أويلر ===
صيغة أويلر بما أنها تنص على أن <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>، تعطي النتائج التالية:

:<math>\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})}{i(e^{ix} + e^{-ix})}.</math>

== انظر أيضا ==
{{بداية-عمو}}{{فاصل-عمو}}
* [[دوال مثلثية]]
* [[موجة جيبية]]
* [[قائمة المطابقات المثلثية]],
{{فاصل-عمو}}
* [[دائرة وحدة]]
* [[استعمالات حساب المثلثات]]
{{نهاية-عمو}}

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{فروع الرياضيات}}
{{شريط سفلي حساب المثلثات}}
{{فضاء رياضي}}
{{شريط سفلي هندسة رياضية}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:حساب المثلثات|*]]
[[تصنيف:اختراعات يونانية]]
[[تصنيف:زوايا]]