عرض مصدر حركة جسيم في بعد واحد

{{يتيمة|تاريخ=سبتمبر 2022}}

'''حركة جسيم في بعد واحد''' (ب[[إنجلترا|الإنجليزي]]: Particle in a one-dimensional lattice)

تُناقَش حركةُ [[أيون|الأيونات]] الموجبة في [[بعد]] واحد بافتراض أن البعد بين أيون وآخر يساوي [[جهد كهربائي|فرق جهد]]([[كمون]]) في [[بنية بلورية|البنية البلورية]].<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.chemeurope.com/en/encyclopedia/Particle_in_a_one-dimensional_lattice_(periodic_potential).html
| عنوان = Particle_in_a_one-dimensional_lattice_(periodic_potential)
| موقع = www.chemeurope.com
| تاريخ الوصول = 2022-09-22
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20220924132221/https://www.chemeurope.com/en/encyclopedia/Particle_in_a_one-dimensional_lattice_(periodic_potential).html | تاريخ أرشيف = 24 سبتمبر 2022 }}</ref> 
<div style="text-align: center;">[[ملف:Potential-actual.PNG]]</div>
التمثيل الرياضي للكمون هو [[دالة دورية]] خلال الفترة a , يتم حلها بواسطة نظرية بلوخ , فيكون حل [[دالة موجية|الدالة الموجية]] في [[معادلة شرودنغر|معادلة شرودنجرهو]] :

:<math> \psi (x) = e^{ikx} u(x). \,\! </math>

حيث أن :
(''u''(''x'' دالة دورية بشرط أن :<math> u(x+a)=u(x) \,\! </math>

نطبق [[شروط بورن فون - كرمان الحدية]] عند أطراف الشبكة البلورية , بفرض أن L طول الشبكة بالتالي L >> a وهذا يؤدي إلى أن يكون عدد الأيونات(N) كبير جدا داخل الشبكة بالتالي حركة الأيون تكون [[حركة خطية|خطية]] وداله الموجية ثابته تقريبا , فيكون لدينا شرط حدي واحد :

:<math> \psi (0)=\psi (L). \,\! </math>

يمكننا الآن استبدال الحدود استنادا للعلاقة ''aN''&nbsp;=&nbsp;''L'' , وتطبيق نظرية بلوخ ..بالتالي يمكن تكميم [[عدد موجي|العدد الموجي]] k
:<math> \psi (0) = e^{ik \cdot 0} u(0) = e^{ikL} u(L) = \psi (L) \,\! </math>
:<math> u(0) = e^{ikL} u(N a) \rightarrow e^{ikL} = 1 \,\! </math>
:<math> \Rightarrow kL = 2\pi n \rightarrow k = {2\pi \over L} n \qquad \left( n=0, \pm 1, \pm 2, ..., \pm {N \over 2} \right). \,\! </math>

== نموذج كرونيج - بيني ==
يفسر هذا النموذج حركة [[إلكترون|الكترونات]] التوصيل بين حاجز [[جهد]] مستطيل تحت تأثير فرق جهد دوري , فتكون دالة الجهد تساوي تقريبا فرق الجهد للمستطيل :
<div style="text-align: center;">[[ملف:Potential-approx.PNG]]</div>
وباستخدام نظرية بلوخ لإيجاد حل الدالة على فترة واحدة 
:<math> For \quad -\frac {1}{2}(a-b) <x<\frac {1} {2}(a-b) : \,\! </math>
:<math>{-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = E \psi \,\! </math>
:<math>\Rightarrow \psi = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} \quad \left( \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2} \right) \,\! </math>

:<math> For \quad -\frac {1}{2}(a+b)<x<-\frac {1}{2}(a-b) : \,\! </math>
:<math>{-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = (E+V_0)\psi \,\! </math>
:<math>\Rightarrow \psi = B e^{i \beta x} + B' e^{-i \beta x} \quad \left( \beta^2 = {2m(E+V_0) \over \hbar^2} \right). \,\! </math>
ولإيجاد الدالة لجميع الفترات ''u''(''x'') نقوم بحل [[دالة موجية|الدالة الموجية]] 
:<math> \psi(0<x<a-b) = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} = e^{ikx} \cdot \left( A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x} \right) \,\! </math>
:<math> \Rightarrow u(0<x<a-b)=A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x}. \,\! </math>
وبنفس الطريقة 
:<math> u(-b<x<0)=B e^{i (\beta-k) x} + B' e^{-i (\beta+k) x}. \,\! </math>
:<math> \psi(0^{-})=\psi(0^{+}) \qquad \psi'(0^{-})=\psi'(0^{+}). \,\! </math>
:<math> u(-b)=u(a-b) \qquad u'(-b)=u'(a-b). \,\! </math>
فتكون ال[[مصفوفة (توضيح)|مصفوفة]] 
:<math> \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha-k)(a-b)} & e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -e^{-i(\beta-k)b} & -e^{i(\beta+k)b} \\ (\alpha-k)e^{i(\alpha-k)(a-b)} & -(\alpha+k)e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -(\beta-k)e^{-i(\beta-k)b} & (\beta+k)e^{i(\beta+k)b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ A' \\ B \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \,\! </math>
عندما يكون محدد المصفوفة مساويا للصفر , يكون
:<math> \cos(k a) = \cos(\beta b) \cos[\alpha(a-b)]-{\alpha^2+\beta^2 \over 2\alpha \beta} \sin(\beta b) \sin[\alpha(a-b)]. \,\! </math>
وللتبسيط 
:<math> b \rightarrow 0 \ ; \ V_0 \rightarrow \infty \ ; \ V_0 b = \mathrm{constant} \,\! </math>
:<math> \Rightarrow \beta^2 b = \mathrm{constant} \ ; \ \alpha^2 b \rightarrow 0 \,\! </math>
:<math> \Rightarrow \beta b \rightarrow 0 \ ; \ \sin(\beta b) \rightarrow \beta b \ ; \ \cos(\beta b) \rightarrow 1. \,\! </math>
بالتالي

:<math> \cos(k a) = \cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a} \qquad \left( P={m V_0 ba\over h^2} \right). \,\! </math>

== مراجع ==
{{مراجع}}

==انظر أيضا==
* [[نموذج الإلكترون الحر]]
* [[بنية بلورية]]
{{شريط بوابات|ميكانيكا الكم|فيزياء}}

[[تصنيف:فيزياء المواد المكثفة]]
[[تصنيف:نماذج الكم]]