عرض مصدر حذف غاوس-يوردان

{{لا مصدر|تاريخ=فبراير 2016}}

في [[جبر خطي|الجبر الخطي]]، يعتبر '''حذف غاوس-يوردان''' نسخة عن [[حذف غاوسي|الحذف الغاوسي]] والذي يضع أصفارا فوق وتحت عنصر المحور عندما يتحرك من أعلى صف في [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفة]] المعطاة إلى الأسفل. أي أنه يعيد المصفوفة إلى الصورة المثلثية.

تعود التسمية إلى [[كارل فريدريش غاوس]] و<nowiki/>[[فيلهلم يوردان]].

== تطبيقات إيجاد المعكوس ==

يمكن استعمال حذف غاوس-يوردان في المصفوفة المربعة لحساب معكوسها كما يلي.

:<math>[ A I ] \Rightarrow
A^{-1} [ A I ] \Rightarrow
[ I A^{-1} ].
</math>

إذا كانت المصفوفة المربعة الأصلية <math>A</math> معطاة بالتعبير:
:<math> A =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}.
</math>

حينئذ يمكن بالاستعانة بمصفوفة الوحدة الحصول على:
:<math> [ A I ] =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
</math>

وبتطبيق عمليات الصف الأساسية على <math>[ A I ]</math> المصفوفة حتى تصل <math>A</math> صورة الصف المخفض يمكن في النهاية الحصول على النتيجة:

:<math> [ I A^{-1} ] =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{bmatrix}.
</math>

والان بعكس الوسيط, يمكن الحصول على:
:<math> I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\qquad
 A^{-1} =
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\
\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4}
\end{bmatrix}.
</math>

== c++ code for matrix inverse ==
<syntaxhighlight lang="c">
#include <cstdlib>
double** gauss(double **matrix, int diminsion)
{
    double **inverse;
    inverse = (double**) malloc(diminsion * sizeof (double *));
    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        inverse[i] = (double*) malloc(diminsion * sizeof (double));

    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        for (int j = 0; j <diminsion; j++)
            inverse[i][j] = 0;

    for (int i = 0; i <diminsion; i++)
        inverse[i][i] = 1;

    for (int k = 0; k <diminsion; k++)
    {
        for (int i = k; i <diminsion; i++)
        {
            double val = matrix[i][k];
            for (int j = k; j <diminsion; j++)
                matrix[i][j] /= val;
            for (int j = 0; j <diminsion; j++)
                inverse[i][j] /= val;
        }
        for (int i = k + 1; i <diminsion; i++)
        {
            for (int j = k; j <diminsion; j++)
                matrix[i][j] -= matrix[k][j];
            for (int j = 0; j <diminsion; j++)
                inverse[i][j] -= inverse[k][j];
        }
    }

    for (int i = diminsion - 2; i>= 0; i--)
    {
        for (int j = diminsion - 1; j> i; j--)
        {
            for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
                inverse[i][k] -= matrix[i][j] * inverse[j][k]; //
            for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
                matrix[i][k] -= matrix[i][j] * matrix[j][k]; //
        }
    }
    return inverse;
}
</syntaxhighlight>

{{جبر خطي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|جبر|خوارزميات}}


[[تصنيف:جبر خطي عددي]]