عرض مصدر جيب التمام الزائدي

{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = جيب التمام الزائدي
| صورة = Cosh.png
| تعليق = منحنى دالة جيب التمام الزائدي على جزء من ℝ، حيث منحناه له شكل [[سلسلي]].
| حجم صورة = 
| بدل صورة = 
| ترميز    =  <math>\cosh (x)</math>
| دالة عكسية = <math>\operatorname{arcosh}(x)</math>
| مشتق دالة = <math>\sinh (x)</math>
| مشتق عكسي = <math>\sinh (x)</math>
| زوجية أم فردية = زوجية
| مجال = <math>\R</math>
| مجال مقابل = <math>[1, +\infty[</math>
| دالة دورية = {{تعبير رياضي|2πi}} على <math>\R</math>
| plusinf = 
<math>+\infty</math>
| minusinf =  
<math>+\infty</math>
| صفر = 1
| حد أعلى = 
| حد أدنى = 
| vr1 = 
| f1 = 
| vr2 = 
| f2 = 
| vr3 = 
| f3 = 
| vr4 = 
| f4 = 
| vr5 = 
| f5 = 
| خط مقارب = 
| جذر = 
| نقطة حرجة = 0
| نقطة ثابتة = 
| ملاحظات = 
}}

'''جيب التمام الزائدي<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|الصفحة=324}}</ref>''' {{إنج|Hyperbolic Cosine}} في [[رياضيات|الرياضيات]] هي [[دوال زائدية]] لها خصائصها ومميزاتها الرياضية.

== تعريف ==
يُرمز [[دالة|لدالة]] جيب التمام الزائدي بالرمز '''cosh''' (أو '''ch''')<ref>La [//fr.wikipedia.org/wiki/ISO/CEI_80000 norme internationale ISO 80000]-2:2009 recommande ''cosh''. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161007133127/https://fr.wikipedia.org/wiki/ISO/CEI_80000 |date=7 أكتوبر 2016}}</ref> أما قيمتها فهي:
:<math>\begin{matrix}\cosh:&\Complex&\to&\Complex\\&z&\mapsto&\displaystyle{\frac{\operatorname e^z+\operatorname e^{-z}}2}\end{matrix}</math>
بحيث أن <math>z\mapsto\operatorname e^z</math> هو الأس المركب.

إذن فدالة جيب التمام الزائدي هي [[دوال زوجية وفردية|الجزء الزوجي]] من العدد المركب الأسي، بل هي [[تطبيق (رياضيات)|تطبيق أو دالة]] حقيقية لمتغير حقيقي.

دالة جيب التمام الزائدي مُعرفة على المجال ℝ، أي أن منحاها يقتصر على هذا المجال فقط، وهي مماثلة لدالة [[جيب التمام]] في [[هندسة زائدية|الهندسة الزائدية]] (من هنا جاء تسميتها بدالة جيب التمام الزائدي).

رمز دالة جيب التمام الزائدي '''Ch. × ''' تم استعمالها لأول مرة من طرف عالم الرياضيات الإيطالي [[فينتشنزو ريكاتي]] {{إيطالية|Vincenzo Riccati}} وذلك في القرن الثامن عشر.

== خصائص ==

=== الخصائص العامة ===
* cosh هي [[دالة مستمرة]] كما أنها [[دالة تامة الشكل]] مما يعني أنها من فئة C{{Sup|∞}} (يعني أنها دالة قابلة [[مشتق (رياضيات)|للاشتقاق]] إلى ما لا نهاية)، أما مُشْتَقة الدالة فهي sinh (العكس صحيح).
* cosh هي [[دوال زوجية وفردية|دالة زوجية]].
* [[مشتق عكسي|المشتق العكسي]] لدالة cosh هو sinh + ''C''حيث أن ''C'' عدد ثابت.
* cosh دالة تزايدية قطعا على المجال ℝ{{exp|+}}

=== الخصائص المثلثية ===
انطلاقا من تعريف دالة جيب التمام الزائدي وكذلك دالة [[دالة الجيب الزائدية|جيب الزائدي]] يُمكن استنتاج المتساويات التالية، وهي صالحة لكل الأعداد الحقيقية والمركبة كما أنها مناسبة ل[[صيغة أويلر]] المُستعملة في المثلثات الدائرية:

:<math>\operatorname e^z=\cosh z+\sinh z</math> و <math>\operatorname e^{-z}=\cosh z-\sinh z</math>

إذن:

<math>\quad\cosh^2z-\sinh^2z=1</math>

عندما تقترب {{تعبير رياضي|''t''}} من R، فإن النقطة ذات الإحداثيات (cos''t'' ،sin''t'') تقطع [[دائرة]] كاملة ذات المعادلة <math>x^2+y^2=1</math>، مما يعني أن النقطة ذات الاحداثيات (cosh''t'' ،sinh''t'') تَمر عبر [[قطع زائد|القطع الزائد]] الذي يحمل المعادلة <math>x^2-y^2=1</math>.

من ناحية أخرى، ومن أجل كل الأعداد المركبة {{تعبير رياضي|x}} و{{تعبير رياضي|y}} فإن:
:<math>\cosh(\mathrm ix)=\frac{\operatorname e^{\mathrm ix}+\operatorname e^{-\mathrm ix}}2=\cos x</math> ;
:<math>\cosh x=\cos(\mathrm ix)</math> ;
:<math>\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y</math> ;
:<math>\cosh^2\left(\frac x2\right)=\frac{1+\cosh x}2</math>.

استعمال [[قائمة المطابقات المثلثية|الصيغ المثلثية]] على غرار <math>\sin(2t)=\frac{2\tan t}{1+\tan^2t}</math> يُمَكِّنُ أيضا من الحصول على علاقات أكثر تفرعا من تلك، وذلك من قبيل:
:<math>\cosh x=\frac1{\sin(2\arctan(\operatorname e^x))}</math> ;

=== دالة الجيب الزائدي في سلسلة تايلور ===
دالة الجيب الزائدي Cosh في [[متسلسلة تايلور|سلسلة تايلور]] تُكتب على الشكل التالي:

<math>\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}</math>.

=== دالة الجيب الزائدي في متعددة حدود تشيبيشيف ===
إذا كانت <math /> [[متعددات الحدود لتشيبيشيف|متعدد حدود شيبيشيف]]، فإن هذه الحدودية تمتد إلى مجموعة من الأعداد العقدية (العلاقة صحيحة كيف ما كان t عدد حقيقي) <math>T_n(\cos t)=\cos(nt)</math>

وبالتالي تُصبح العلاقة لكل عدد معقد _مركب_ {{تعبير رياضي|z}} على الشكل التالي:

:<math>T_n(\cosh z)=\cosh(nz)</math>.

== القيم ==
هذه بعض قيم دالة جيب التمام الزائدي <math>\cosh</math>:
* <math>\cosh0=1</math> ;
* <math>\cosh1=\frac{\operatorname e^2+1}{2\mathrm e}</math> ;
* <math>\cosh\mathrm i=\cos1</math>.

== الأصفار ==
كل أصفار دالة {{تعبير رياضي|cosh}} هي مجرد [[عدد تخيلي|أعداد تخيلية]]. بشكل أكثر دقة، فإن لكل عدد معقد <math>z</math>:
:<math>\cosh z=0\Leftrightarrow z\in\mathrm i\pi\left(\Z+\frac12\right).</math>

في الواقع، وباعتبار أن <math>z=x+\mathrm iy</math> مع <math>x,y</math> عددان حقيقيان، فإن <math>\cosh z=\cosh x\cos y+\mathrm i\sinh x\sin y</math> وهذا يعني:
:<math>\cosh z=0\Leftrightarrow\left(\cos y=0\text{ et }\sinh x=0\right)\Leftrightarrow\left(y\in\{\pi/2+k\pi\mid k\in\Z\}\text{ et }x=0\right)</math>.

== الدالة العكسية ==
[[ملف:Inverse_Hyperbolic_Cosine.svg|يسار|تصغير|رسم بياني لمنحنى الدالة العكسية لجيب تمام الزائدي على المجال [1، +∞[.]]
في المجال {{تعبير رياضي|[0, +∞[}}، فإن cosh هي دالة متصلة وتزايدية قطعا؛ أما قيمتها في 0 فهي 1، ونهايتها في {{تعبير رياضي|+∞}} هي {{تعبير رياضي|+∞}}، مما يعني أنها [[تقابل (دالة)|مقابلة]] للمجال {{تعبير رياضي|[0, +∞[}} في {{تعبير رياضي|[1, +∞[}}. أما [[دالة عكسية|دالتها العكسية]] فيُرمز لها بـ arcosh (أو argch)، وتُسمى «الدالة العكسية لدالة جيب التمام الزائدي» أو «قوس جيب التمام الزائدي».

<math>\operatorname{arcosh}z=\ln\left(z+\sqrt{z+1}\sqrt{z-1}\right).</math>
من أجل {{تعبير رياضي|''x''∈ [1، +∞[}} هناك عددان حقيقيان في cosh وهما:

:<math>\operatorname{arcosh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad\text{و}\quad-\operatorname{arcosh}x=\ln\left(x-\sqrt{x^2-1}\right).</math>

في الواقع، إذا افترضنا {{تعبير رياضي|1=''t'' = arcosh(''x'')}} ثم استعملنا العلاقة التالية {{تعبير رياضي|1=cosh(''t'') – sinh(''t'') = 1}} مع
{{تعبير رياضي|''t''> 0}} نحصل على:
:<math>\operatorname e^t=\cosh t+\sinh t=x+\sqrt{x^2-1}\quad\text{et}\quad\operatorname e^{-t}=\cosh t-\sinh t=x-\sqrt{x^2-1}.</math>

الدالة {{تعبير رياضي|arcosh}} مشتقة على المجال {{تعبير رياضي|]1, +∞[}} بحيث:
:<math>\forall x\in]1,+\infty[\quad\operatorname{arcosh}'x=\dfrac1{\sqrt{x^2-1}}.</math>

== استخدام ==

=== الفيزياء ===
الرسم البياني للدالة cosh في المجال ℝ يُمكن أن يصف [[سلسلي|سلسلة]]، أو بالأحرى كابل ثابت (معلق) في طرفين ويخضع ل[[قانون الجذب العام لنيوتن|قانون الجاذبية]].

[[ملف:St_Louis_Gateway_Arch.jpg|يسار|تصغير|[[قوس جيت واي|قوس لويس غاتواي]]]]

=== العمارة ===
يُستعمل جيب تمام الزائدي في الهندسة وكذلك في العمارة، خاصة في [[سلسلي|القوس السلسلي]] والذي تظهر أهميته جليا عند هندسة [[جسر معلق|الجسور المعلقة]].

[[أنطوني غاودي]] كان واحدا من الأوائل الذين استفادوا من هذه الدالة وذلك من خلال استعمالها على نطاق واسع في [[عمارة|الهندسة المعمارية]] لا سيما مع واحدة من أفضل أعماله والتي تحمل اسم [[ساغرادا فاميليا]]. كما أن [[قوس جيت واي]] في [[سانت لويس (ميزوري)|سانت لويس]] بني على أساس الدالة العكسية لدالة جيب تمام الزائدي، حيث بلغ ارتفاعه {{وحدة|192|m}} ونفس العدد في قاعدته. أما نقاط هذا القوس فتُشكل تقريبا المعادلة التالية:
:<math>y=-39 \cosh \left( \frac x{39} \right)+231</math>

بالنسبة لـ {{تعبير رياضي|–96 <''x'' <96}}.

== انظر أيضًا ==
* [[دالة الجيب الزائدية]]
* [[دالة الظل الزائدية]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط سفلي حساب المثلثات}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

[[تصنيف:حساب المثلثات]]
[[تصنيف:هندسة زائدية]]
[[تصنيف:دوال زائدية]]