عرض مصدر جيب (رياضيات)

{{عن|3=جيب (توضيح)}}
{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم= الجيب
| صورة = Sine.svg
| تعليق = تمثيل دالة الجيب في جملة الإحداثيات الديكارتيّة 
| حجم صورة = 
| بدل صورة = 
| ترميز    = <math> \sin (x) </math> أو {{خط/رقعة|جا (س)}} أو {{خط/رقعة|جب (س)}}
| تعريف الدالة = {{تكبير|{{تعبير رياضي|sin A {{=}} {{كسر|الضلع المقابل لزاوية في مثلث قائم|الوتر}}}}|1.5}}
| دالة عكسية = <math> \arcsin (x) </math>
| مشتق دالة = <math> \cos (x) </math>
| مشتق عكسي = <math> -\cos(x) + C </math>
| التكافؤ = فردية
| مجال = <math> \mathbb{R}= ]-\infty , +\infty[</math>
| مجال مقابل = <math> [-1 , 1]</math>
| دالة دورية = 2{{pi}}
| plusinf = 
| minusinf = 
| vr1 = 
| صفر = 0
| حد أعلى = <math>(\frac {\pi}{2}+2 k \pi, 1)</math>
| حد أدنى = <math>(-\frac {\pi}{2}+2 k \pi, -1)</math>
| f1 = 
| vr2 = 
| f2 = 
| vr3 = 
| f3 = 
| vr4 = 
| f4 = 
| vr5 = 
| f5 = 
| خط مقارب = 
| جذر = <math>k \pi</math>
| نقطة حرجة =  <math>\frac {\pi}{2}+k \pi</math>
| نقطة انقلاب = <math>k \pi</math>
| نقطة ثابتة = 0
| ملاحظات = <math>k\in\mathbb{Z}</math>
}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''جَيْب''' الزاوية {{إنج|Sine of an angle}} هو أحد [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] الرئيسية، وهو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوما على طول الوتر في [[مثلث]] ذي [[زاوية قائمة]]، حيث يكون [[وتر (توضيح)|الوتر]] هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. ويرمز له بالرمز (جا) أو (حا) أو {{إنج|sin}}.

في المثلث القائم في الشكل حيث يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف جيب الزاوية A كالآتي:

جيب الزاوية A = الضلع المقابل ÷ الوتر (أي نسبة الضلع a إلى الضلع c).

في [[رياضيات|الرياضيات]] وفي [[فيزياء|الفيزياء]] وفي [[هندسة|الهندسة]]، تعتبر التوابع المثلثية أو [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] دوالا لزاوية هندسية من أهم الدوال المستخدمة فيها. وهي دوال تتردد في صيغ كثيرة جدا في العلوم ولا مجال لتقدم العلوم بدونها. ومن دراسة حساب المثلثات يمكن وصف ظواهرِ دورية مثل حساب أفلاك [[كوكب|الكواكب]] في [[علم الفلك|الفلك]] وحسابات [[تيار متردد|التيار المتردد]] في [[هندسة كهربائية|الهندسة الكهربائية]] وغيرها.

يمكن تعريف هذه الدوال نسبة بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثيات على [[دائرة وحدة|دائرة واحدية]].

الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر الدورية المتكررة [[موجة|كالموجات]]. ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنها نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو بشكل أوسع نسبةً بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في '''سطح مستوي '''(مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.

== أصل التسمية ==
استعيرت كلمة جيب من لفظ في لغة هندية قديمة تعرف [[اللغة السنسكريتية|بالسنسكريتية]] هو jīvā بمعنى وتر وكانت ترادفها أيضاً كلمة jyā في تلك اللغة والتي استعملت في الأصل لوصف وتر قوس المحارب. يقال أن الكلمة jīvā استعيرت إلى العربية «جيبا» أثناء ترجمة العرب للكتب الهندية حيث كان فيهم علماء مولعين بالرياضيات.{{بحاجة لمصدر|تاريخ=أبريل 2019}}

== الدوال الرئيسية للمثلث القائم ==
{{ مفصلة| حساب المثلثات }}

هناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:

* جا أو جيب الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a مقسوما على الوتر c.
* جتا أو [[جيب التمام]] الزاوية A = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية a مقسوما على الوتر c.
* ظا أو ظل الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a والضلع المجاور لها b.

== تأطيره ==
بصفة عامة، قيمة جيب الزاوية محصورة بين 1- و1، وكذلك قيمة [[جيب التمام|جيب تمام]] الزواية.
و بصفة خاصة، جيب [[زاوية حادة|الزاوية الحادة]] محصور بين 0 و1، وكذلك جيب التمام لها.<ref>[https://www.boocverymath.com  موقع كتاب فيري للرياضيات.]{{وصلة مكسورة}}</ref>

== تطبيق في الهندسة ==
[[ملف:Sinussatz Beispiel.png|يسار|250px|تصغير|مثال المثلث القائم]]

بواسطة تعريف جيب الزاوية يمكن حساب الارتفاع <math>h_c</math> في المثلث ''ABC'' بالمتر حيث:

: متر <math>a=5,4</math>

:والزاوية <math>\beta=42^\circ</math>:

:<math>\begin{align}
\frac{h_c}{a} &= \sin(\beta)\\
h_c &= a\cdot \sin(\beta)\\
h_c &= 5{,}4 \cdot \sin (42^\circ) \approx 3{,}613
\end{align}</math>
[[متر]]

مثلما في المثال السابق يمكن حساب الأطوال (والارتفاعات) سواء كانت المقاييس المستخدمة بالمتر أو [[سنتيمتر]] أو [[كيلومتر]].

== قانون الجيب ==
{{مفصلة|قانون الجيب}}

ينص قانون الجيب على أنه: في أي [[مثلث]] أضلاعه هي ''a'' و''b'' و''c'' والزوايا المقابلة لهذه الأضلاع هي ''A'' و''B'' و''C'' على الترتيب يكون:

:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}.</math>

أو يمكن صياغته بالشكل التالي:

:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>

حيث ''R'' هو نصف قطر [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطية]] لهذا المثلث.

== خصائص دالة الجيب ==
=== دورية ===
دالة الجيب هي [[دالة دورية]] دورها {{تعبير رياضي|2π}}.

:<math>\forall x \in \R\quad\sin(x+2\pi)=\sin x</math>

هذه الخاصية تتدفق بشكل طبيعي من التعريف انطلاقا من دائرة الوحدة.
بتعبير أدق، هناك رقمان حقيقيان لهما نفس الجيب إذا كان مجموعهم أو فرقهم ينتمي إلى <math>2 \pi \Z</math>.

=== فردية ===
دالة الجيب هي [[دوال زوجية وفردية|دالة فردية]] أي: 
:<math>\forall x \in \R\quad\sin(-x)=-\sin x</math>.

=== دالة عكسية ===
دالة الجيب هي دالة دورية وبالتالي غير [[دالة متباينة|تباينية]]. أيضا، نعتبر [[اقتصار (رياضيات)|اقتصارها]] إلى {{تعبير رياضي|[- {{كسر|π|2}},{{كسر|π|2}}]}} التي هي [[تقابل (دالة)|تقابلية]] عند نفس المجال في المدى {{تعبير رياضي|[-1,1]}} ، ثم نعرف [[دالة عكسية|دالتها العكسية]]، [[قوس الجيب]]:

:<math>
\begin{matrix}
\mathrm{arcsin} : & [-1,1] & \to& [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
 \\
& x & \mapsto & \arcsin x
\end{matrix}
</math>
التي تحقق:
:<math>\forall x \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\arcsin(\sin x) = x</math> ;
:<math>\forall x \in [-1,1]\quad\sin(\arcsin x) = x</math>

=== مشتق ===
[[مشتق (رياضيات)|مشتق]] الدالة هو دالة [[جيب التمام]].

<math>\forall x \in \R\quad\sin'x=\cos x</math>.

=== مشتق عكسي ===
:<math>\int \sin (x) dx = -\cos (x)</math>.

=== نهايات ===
{{أيضا|نهاية دالة}}
من أجل إلى كل عدد حقيقي x، تكون دالة الجيب مستمرة عند النقطة a، لذلك تكون النهاية في هذه النقطة هي sin (a)، بتعبير آخر:

<math>\lim_{x \to a} \sin (x) = \sin (a)</math>

أما بالنسبة لنهاية الدالة عند {{تعبير رياضي|±∞}}، فهي غير موجودة بسبب دورية الدالة.

=== الشكل الأسي للدالة ===
* لدينا:

<math>\begin{align}
e^{i\theta}  &= \cos \theta + i\sin \theta\\[5pt]
e^{-i\theta}  &= \cos \theta - i\sin \theta.
\end{align}</math>

من تلك الصيغ ([[صيغة أويلر|صيغ أويلر]])، يمكن كتابة دالة الجيب على هذا الشكل:

:<math>\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \frac{\sinh (i\theta)}{i}</math>

حيث {{تعبير رياضي|''i''}} هي [[وحدة تخيلية|الوحدة التخيلية]] التي مربعها يساوي الواحد، بتعبير آخر: <math>i^2 = -1</math>، و<math>\sinh \theta</math> هي [[دالة الجيب الزائدية]].

== تعريف بواسطة الجداء الخارجي ==
في هندسة [[متجه|المتجهات]]، يُعرَّف الجيب انطلاقا من [[جبر خارجي|الجداء الخارجي]] للمتجهتين <math>\vec u</math> و <math>\vec v </math> ومعاييرها <math>\| \vec u \|</math> و <math>\| \vec v \|</math> بواسطة:

<math>\sin(u,v) = \frac{\vec u \times \vec v}{ \|\vec u \| \|\vec v \|} </math>

حيث <math>\| \vec u \times \vec v \| </math> هو مقدار [[ضرب اتجاهي|الجداء المتجهي]] (أو الجداء الشعاعي) للمتجهتين.

== دائرة الوحدة ==
لحساب جيب الزاوية عندما تتغير الزاوية A بين 0 و360 درجة يمكن استخدام [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]. تستخدم تلك الطريقة كثيرا في [[فيزياء|الفيزياء]] و[[علم الفلك|الفلك]] و[[هندسة كهربائية|الهندسة الكهربائية]]. وتفسح دائرة الوحدة المجال لحساب الدوال الموجية، ونبين هنا رسما بيانيا لما يسمى [[موجة جيبية|الموجة الجيبية]].
[[ملف:Unit circle.svg|يمين|تصغير|200بك|دائرة الوحدة.]]
[[ملف:Sine curve drawing animation.gif|تصغير|400px|عملية الرسم البياني لـ <math>y = \sin (x)</math> باستخدام [[دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]]]

{{-}}

== التعريف باستعمال المتسلسلات غير المنتهية ==
[[ملف:Taylorsine.svg|250px|تصغير|يسار|دالة الجيب (أزرق) ومقاربتها بواسطة متسلسلة تايلور من الدرجة السابعة(وردي).]]
يمكن التعبير عن جيب الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}, \\[8pt]
\end{align}
</math>
[[ملف:Sine.gif|250px|تصغير|يسار|كلما أخذنا عدد أكبر من [[حد جبري|الحدود الجبرية]] كلما كانت متسلسلة تايلور أكثر تعبيرا عن دالة الجيب.]]
إذا كانت الزاوية مقاسة بالدرجات فسوف تحتوي السلسلة علي كسور مكونة من قوي «ط» مقسومة علي 180 كالتالي:
:<math>\begin{align}
\sin x_\mathrm{deg} & = \sin y_\mathrm{rad} \\
& = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right)^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right)^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right)^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots.
\end{align}</math>

=== الكسور المستمرة ===

كما يمكن التعبير عن جيب الزاوية x بواسطة [[كسر مستمر معمم|الكسر المستمر المعمم]] التالي:
:<math> \sin x = 
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 + 
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 + 
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.
</math>

== التاريخ ==
{{مفصلة|تاريخ حساب المثلثات}}

يقال أن أول من اكتشف دالة الجيب هو الرياضياتي الهندي [[أريابهاتا]]، كان ذلك في القرن السادس ميلادي.

أول من نشر المختصرات sin و cos و tan هو عالم الرياضيات الفرنسي [[ألبير جيرار|ألبرت جيرارد]] ولقد كان ذلك في القرن السادس عشر.

== العلاقة مع الأعداد المركبة ==
[[ملف:Complex picture.svg|تصغير|بيان ل[[مستوى عقدي|مستوى مركب]]. تظهر [[عدد تخيلي|الأعداد التخيلية]] على محول الإحداثيات العمودي]].

=== دالة الجيب لعدد مركب (عقدي) ===
[[ملف:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 3.svg|تصغير|<math>\sin(\theta)</math> هو الجزء التخيلي لـ <math>e^{i\theta}</math>.]]

: <math>\begin{align}
\sin(z)& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \\
& = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} \\
& = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i}
\end{align}</math>

== قيم الجيب لبعض الزوايا ==
[[ملف:Unit circle angles.svg|يسار|تصغير|300px|بعض الزوايا الشائعة موضحة علي دائرة الوحدة.مقدرة بالدرجات.مع قيم الجيب وجيب التمام المناظرة لها(جا&nbsp;''θ''، جتا&nbsp;''θ'').]]

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-----
! style="background:#ffdead;" colspan="3" | ''x'' (الزاوية)
! colspan="2" style="background:#ffdead;" | جيب الزاوية ''x''
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center" | درجات
| style="background:#efefef;" | دائري
| style="background:#efefef;" align="Center" | غراد
| style="background:#efefef;" align="Center" | القيمة بالضبط
| style="background:#efefef;" | بالنظام العشري
|-----
| align="Center" | 0° || align="Center" | 0
| align="Center" | 0<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | 0 || rowspan="2" | 0
|-----
| align="Center" | 180° || align="Center" | <math>\pi</math>
| align="Center" | 200<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 15°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" | 16{{كسر مائل|2|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0.258819045102521
|-----
| align="Center" | 165°
| align="Center" | <math>\frac{11 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 183{{كسر مائل|1|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 30°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" | 33{{كسر مائل|1|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{1}{2}</math>
| rowspan="2" | 0.5
|-----
| align="Center" | 150°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{6}</math>
| align="Center" | 166{{كسر مائل|2|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 45°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" | 50<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\sqrt{\frac{1}{2}}</math>
| rowspan="2" | 0.707106781186548
|-----
| align="Center" | 135°
| align="Center" | <math>\frac{3 \cdot \pi}{4}</math>
| align="Center" | 150<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 60°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" | 66{{كسر مائل|2|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| rowspan="2" | 0.866025403784439
|-----
| align="Center" | 120°
| align="Center" | <math>\frac{2 \cdot \pi}{3}</math>
| align="Center" | 133{{كسر مائل|1|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 75°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 83{{كسر مائل|1|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0.965925826289068
|-----
| align="Center" | 105°
| align="Center" | <math>\frac{7 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 116{{كسر مائل|2|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 90°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup> || align="Center" | 1
| 1
|}

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضًا ==
* [[موجة جيبية]]
* [[جيب التمام]]

{{تصنيف كومنز|Sine function}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}
{{شريط سفلي حساب المثلثات}}

[[تصنيف:دوال مثلثية]]
[[تصنيف:زوايا]]