عرض مصدر جهد قياسي (فيزياء رياضية)

{{لا صندوق معلومات}}
في [[فيزياء رياضية|الفيزياء الرياضية]]، يصف '''الجهد القياسي'''، ببساطة، الوضع الذي يعتمد فيه الفرق في [[طاقة وضع|طاقات الوضع]] لجسم ما في موضعين مختلفين فقط على المواضع، وليس على المسار الذي يسلكه الجسم في الانتقال من موضع إلى آخر. إنه [[حقل سلمي|مجال قياسي]] في [[فضاء ثلاثي الأبعاد|فضاء ثلاثي]]: قيمة بلا اتجاه ([[كمية قياسية (رياضيات)|كمية قياسية]]) تعتمد فقط على موقعه. والمثال المألوف هو [[طاقة وضع الجاذبية|الطاقة الكامنة بسبب الجاذبية]] .
[[ملف:Electrodynamics_vector_calculus_review_gradient.svg|تصغير|400x400بك|مجال متجه (يمين) والجهد القياسي المناظر(يسار).]]
يُعد ''الجهد القياسي'' مفهوماً أساسياً في [[حساب المتجهات|تحليل المتجهات]] [[فيزياء|والفيزياء]] (وغالباً ما تحذف الصفة ''قياسي'' إذا لم يكن هناك خشية بوقوع التباس مع ''[[كمون إتجاهي|الجهد المتجه]]''). الجهد القياسي هو مثال [[حقل سلمي|لمجال قياسي]] . يُعَرَّف الجهد القياسي {{Mvar|P}} بالنسبة [[حقل متجهات|للمجال المتجه]] {{تعبير رياضي|'''F'''}}، على النحو التالي:

: <math> \mathbf{F} = -\nabla P = - \left(
\frac{\partial P}{\partial x},
\frac{\partial P}{\partial y},
\frac{\partial P}{\partial z}
\right), </math> <ref>{{استشهاد بكتاب
| مؤلف = Herbert Goldstein
| عنوان = Classical Mechanics
| طبعة = 2
| صفحات = 3–4
| isbn = 978-0-201-02918-5
}}</ref>

حيث {{تعبير رياضي|∇''P''}} هو [[تدرج (رياضيات)|انحدار]] {{Mvar|P}} والجزء الثاني من المعادلة سالب التدرج لدالة في [[نظام إحداثي ديكارتي|الإحداثيات الديكارتية]] {{Mvar|x, y, z}} . {{ملا|The second part of this equation is ''only'' valid for Cartesian coordinates, other coordinate systems such as cylindrical or spherical coordinates will have more complicated representations, derived from the [[مبرهنة التدرج|fundamental theorem of the gradient]].}} في بعض الحالات، قد يستخدم علماء الرياضيات علامة موجبة أمام التدرج لتعريف الجهد.<ref>See for an example where the potential is defined without a negative. Other references such as {{استشهاد|طبعة=5|صفحة=1199|عنوان=The Calculus with Analytic Geometry|الأخير=Louis Leithold}} avoid using the term ''potential'' when solving for a function from its gradient.</ref> بسبب هذا التعريف لـ {{Mvar|P}} باستخدام التدرج، فإن اتجاه {{تعبير رياضي|'''F'''}} عند أي نقطة هو اتجاه التَنَاقُص الحاد لـ {{Mvar|P}} عند تلك النقطة، وقيمته هي معدل ذلك التَنَاقُص لكل وحدة طول.

لكي يُوصَف {{تعبير رياضي|'''F'''}} وفقاً ''للجهد القياسي'' فقط، يجب أن تكون أي من العبارات المكافئة التالية صحيحةً:

# <math display="">-\int_a^b \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = P(\mathbf{b})-P(\mathbf{a}),</math> حيث يكون التكامل على [[مبرهنة منحنى جوردان|قوس '''جوردان''']] ماراً من الموقع {{تعبير رياضي|'''a'''}} إلى الموقع {{تعبير رياضي|'''b'''}} و {{تعبير رياضي|''P''('''b''')}} هو {{Mvar|P}} محسوباً في الموقع {{تعبير رياضي|'''b'''}} .
# <math display="">\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=0,</math> حيث يكون التكامل على أي مسار مغلق بسيط، والمعروف باسم [[منحنى]] [[مبرهنة منحنى جوردان|جوردان]] .
# <math>{\nabla}\times{\mathbf{F}} =0. </math>

تمثل الحالة الأولى من هذه الشروط [[مبرهنة التدرج|النظرية الأساسية للتدرج]] وهي صحيحة لأي مجال متجه يمثل تدرجاً لمجال قياسي [[دالة متعددة القيم|أحادي القيمة]] قابل [[دالة قابلة للاشتقاق|للتفاضل]] {{Mvar|P}} الشرط الثاني هو من متطلبات {{تعبير رياضي|'''F'''}} حتى يمكن التعبير عنها كتدرج لدالة قياسية. يعيد الشرط الثالث التعبير عن الشرط الثاني طبقاً [[دوران (متجهات)|لدوران]] {{تعبير رياضي|'''F'''}} باستخدام [[مبرهنة كلفن-ستوكس|النظرية الأساسية للدوران]]. يقال إن المجال المتجه {{تعبير رياضي|'''F'''}} الذي يفي بهذه الشروط لادوراني (محافظ).
[[ملف:Mass_potential_well_increasing_mass.gif|تصغير|بئر جهد الجاذبية لكتلة متزايدة حيث {{تعبير رياضي|1='''F''' = –∇''P''}}]]
تؤدي الجهود القياسية دوراً بارزاً في العديد من مجالات الفيزياء والهندسة. جهد الجاذبية هو الجهد القياسي المرتبط بالجاذبية لكل وحدة كتلة، أي [[تسارع|التسارع]] الناتج عن المجال، كدالة للموضع. جهد الجاذبية هو [[طاقة وضع الجاذبية]] لكل وحدة كتلة. في [[علم الكهرباء الساكنة|الكهرباء الساكنة]]، يكون [[كمون كهربائي|الجهد الكهربائي]] هو الجهد القياسي المرتبط [[حقل كهربائي|بالمجال الكهربائي]]، أي [[قانون كولوم|القوة الكهروستاتيكية]] لكل وحدة [[شحنة كهربائية|شحنة]]. الجهد الكهربائي في هذه الحالة هو الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية لكل وحدة شحنة. في [[جريان الموائع|ديناميات الموائع]]، تمتلك المجالات الصفائحية غير الدوارة جهود قياسية فقط في الحالة الخاصة عندما تكون مجال [[مؤثر لابلاس|لابلاسي]]. يمكن وصف جوانب معينة من [[قوة نووية|القوة النووية]] من خلال [[جهد يوكاوا]] . يؤدي الجهد دوراً بارزاً في [[ميكانيكا لاغرانج|صياغتي لاغرانج]] [[ميكانيكا هاملتوني|وهاملتون]] [[ميكانيكا كلاسيكية|للميكانيكا الكلاسيكية]]. علاوة على ذلك، فإن الجهد لقياسي هو الكمية الأساسية في [[ميكانيكا الكم]].

ليس كل مجال متجه له جهد قياسي. ويُطلق على تلك التي تكون كذلك ''بالمحافظة''، مناظرة لمفهوم [[قوة محافظة|القوة المحافظة]] في الفيزياء. تتضمن أمثلة القوى غير المحافظة قوى الاحتكاك، والقوى المغناطيسية، وفي ميكانيكا الموائع سرعة المجال اللولبي. ومع ذلك، من خلال نظرية تحلل هيلمهولتز، يمكن وصف جميع المجالات المتجهية باستخدام الجهد القياسي والجهد [[كمون إتجاهي|المتجه]] المناظر. في الديناميكا الكهربائية، يُعرف الجهد القياسي الكهرومغناطيسي والجهد المتجه معاً باسم الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي.

== شروط قابلية التكامل ==
إذا كانت {{تعبير رياضي|'''F'''}} هي مجال متجه محافظ (يُطلق عليه أيضاً اسم ''لادوراني''، أو خال ''من [[دوران (متجهات)|اللف]]''، أو ''جهد'') ، وكانت مركباته لها [[مشتق جزئي|مشتقات جزئية]] [[دالة مستمرة|مستمرة]]، فإن '''جهد''' {{تعبير رياضي|'''F'''}} بالنسبة لنقطة مرجعية {{تعبير رياضي|'''r'''{{sub|0}}}} يعرف طبقاً [[تكامل خط|للتكامل الخطي]]:

: <math>V(\mathbf r) = -\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = -\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt,</math>

حيث {{Mvar|C}} هو [[تمثيل وسيطي|مسار وسيطي]] من {{تعبير رياضي|'''r'''{{sub|0}}}} إلى {{تعبير رياضي|'''r'''}} ،

: <math>\mathbf{r}(t), a\leq t\leq b, \mathbf{r}(a)=\mathbf{r_0}, \mathbf{r}(b)=\mathbf{r}.</math>

حقيقة أن التكامل الخطي يعتمد على المسار {{Mvar|C}} فقط من خلال نقطتيه الطرفيتين {{تعبير رياضي|'''r'''{{sub|0}}}} و {{تعبير رياضي|'''r'''}} هي، في جوهرها ، '''خاصية استقلالية المسار''' لمجال متجه محافظ. تشير [[مبرهنة التدرج|النظرية الأساسية للتكامل الخطي]] إلى أنه إذا عُرف {{Mvar|V}} بهذه الطريقة، فإن{{تعبير رياضي|1='''F''' = –∇''V''}}، بحيث يكون {{Mvar|V}} جهداً قياسياً لمجال المتجه المحافظ {{تعبير رياضي|'''F'''}}. لا يتحدد الجهد القياسي من خلال مجال المتجه وحده: في الواقع، لا يتأثر تدرج الدالة إذا أُضيف ثابت إليها. إذا عُرف {{Mvar|V}} وفقاً للتكامل الخطي، فإن غموض {{Mvar|V}} يعكس الحرية في اختيار النقطة المرجعية {{تعبير رياضي|'''r'''{{sub|0}}}}.

== الارتفاع كطاقة وضع للجاذبية ==
[[ملف:Gravity_field_near_earth.gif|تصغير|مجال جاذبية منتظم بالقرب من سطح الأرض]]
[[ملف:GravityPotential.jpg|تصغير|300x300بك| رسم لشريحة ثنائية الأبعاد لجهد الجاذبية داخل وحول جسم كروي منتظم. [[نقطة انعطاف|نقاط انعطاف]] المقطع العرضي تكون على سطح الجسم.]]
مثال على ذلك هو [[حقل جاذبية|مجال الجاذبية]] المنتظم (تقريباً) بالقرب من سطح الأرض. يكون له طاقة كامنة

: <math> U = m g h </math>

حيث {{Mvar|U}} هي طاقة وضع الجاذبية و {{Mvar|h}} هو الارتفاع عن سطح الأرض. وهذا يعني أن طاقة وضع الجاذبية على [[خط منسوب|الخريطة الكنتورية]] تتناسب مع الارتفاع. في الخريطة الكنتورية، يكون التدرج السلبي للارتفاع ثنائي البعد عبارة عن حقل متجه ثنائي البعد، تكون متجهاته دائماً متعامدة مع '''خطوط الكفاف''' ومتعامدة أيضاً مع اتجاه الجاذبية. ولكن في المنطقة المرتفعة التي تمثلها خريطة الكنتور، يشير التدرج السلبي ثلاثي الأبعاد لـ {{Mvar|U}} دائماً إلى أسفل في اتجاه الجاذبية ؛ {{تعبير رياضي|'''F'''}}. ومع ذلك، فإن الكرة التي تتدحرج إلى أسفل التل لا يمكنها التحرك مباشرة إلى أسفل بسبب [[قوة عمودية|القوة العمودية]] لسطح التل، والتي تلغي مركبة الجاذبية [[متعامد|المتعامدة]] مع سطح التل. ويتبقى مركبة الجاذبية التي تحرك الكرة بموازاة السطح:

: <math> \mathbf F_\mathrm{S} = - m g \ \sin \theta </math>

حيث {{Mvar|θ}} هي زاوية الميل، ومركبة {{تعبير رياضي|'''F'''{{sub|S}}}} العمودية على الجاذبية هي

: <math> \mathbf F_\mathrm{P} = - m g \ \sin \theta \ \cos \theta = - {1 \over 2} m g \sin 2 \theta. </math>

هذه القوة {{تعبير رياضي|'''F'''{{sub|P}}}}، موازية للأرض، تكون أكبر ما يمكن عندما تكون {{Mvar|θ}} =٤٥ درجة.

لنفترض أن {{تعبير رياضي|Δ''h''}} هي فاصل منتظم للارتفاع بين '''خطوط الكفاف''' على الخريطة الكنتورية، ولتكن {{تعبير رياضي|Δ''x''}} هي المسافة بين كفافين. حينئذٍ

: <math> \theta = \tan^{-1}\frac{\Delta h}{\Delta x} </math>

بحيث

: <math> F_P = - m g { \Delta x \, \Delta h \over \Delta x^2 + \Delta h^2 }. </math>

ومع ذلك، على الخريطة الكنتورية، يتناسب التدرج عكسياً مع {{تعبير رياضي|Δ''x''}}، والذي لا يكون مماثلاً للقوة {{تعبير رياضي|'''F'''{{sub|P}}}} : ولا يكون الارتفاع على الخريطة الكنتورية بالضبط مجال جهد ثنائي البعد. تختلف مقادير القوى، لكن اتجاهات القوى هي نفسها على الخريطة الكنتورية وكذلك على المنطقة المرتفعة عن سطح الأرض التي تمثلها الخريطة الكنتورية.

== الضغط كجهد طفو ==
في [[ميكانيكا الموائع]]، يكون السائل في حالة اتزان، ولكن في وجود مجال جاذبية منتظم تتخلله قوة طفو منتظمة تلغي قوة الجاذبية: وهذه هي الكيفية التي يحافظ بها السائل على اتزانه. [[طفو|قوة الطفو]] هذه هي التدرج السالب [[ضغط|للضغط]]:

: <math> \mathbf{f_B} = - \nabla p. \, </math>

نظراً لأن قوة الطفو تشير إلى أعلى، في الاتجاه المعاكس للجاذبية، فإن الضغط في المائع يزداد لأسفل. يزداد الضغط في مسطح مائي ساكن تناسبياً مع العمق تحت سطح الماء. أسطح الضغط المستمر عبارة عن مستويات موازية للسطح، ويمكن وصفها بأنها مستوى ضغط صفري.

إذا كان السائل يحتوي على [[دوامة (فيزياء)|دوامة]] رأسية (محور دورانها عمودي على السطح)، فإن الدوامة تسبب اِنخِفاضاً في مجال الضغط. يُسحب سطح السائل داخل الدوامة إلى أسفل كما هو الحال مع أي أسطح ذات ضغط متساوٍ، والتي تبقى موازية لأسطح السائل. يكون التأثير أقوى داخل الدوامة ويتناقص بسرعة مع المسافة من محور الدوامة.

يمكن الحصول على قوة الطفو الناتجة عن سائل والمؤثرة على جسم صلب مغمور ومحاط بهذا السائل من خلال تكامل سالب تدرج الضغط على طول سطح الجسم:

: <math> F_B = - \oint_S \nabla p \cdot \, d\mathbf{S}. </math>

== الجهد القياسي في الفضاء الإقليدي ==
في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد {{tmath|\mathbb R^3}}، يعطى الجهد القياسي لمجال متجه لا دوراني {{تعبير رياضي|'''E'''}} عن طريق

: <math> \Phi(\mathbf{r}) = {1 \over 4 \pi} \int_{\mathbb R^3} \frac{\operatorname{div} \mathbf{E}(\mathbf{r}')}{\| \mathbf{r} - \mathbf{r}' \|} \, dV(\mathbf r') </math>

حيث {{تعبير رياضي|''dV''('''r'''')}} هو عنصر حجم متناهي الصغر بالنسبة لـ {{تعبير رياضي|'''r''''}} . وبالتالي

: <math> \mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} \Phi = - {1 \over 4 \pi} \mathbf{\nabla} \int_{\mathbb R^3} \frac{\operatorname{div} \mathbf{E}(\mathbf{r}')}{\| \mathbf{r} - \mathbf{r}' \|} \, dV(\mathbf r') </math>

ويصح هذا شريطة أن يكون {{تعبير رياضي|'''E'''}} [[دالة مستمرة|مستمراً]] ويتلاشى تقاربباً إلى الصفر باتجاه اللانهاية، مضْمَحَلاً أسرع من {{تعبير رياضي|1/''r''}} وإذا [[تباعد|تلاشى '''تباعد''']] {{تعبير رياضي|'''E'''}} أيضاً نحو اللانهاية، مضْمَحَلاً أسرع من {{تعبير رياضي|1/''r''{{sup|&thinsp;2}}}} .

ولكي يكتب بطريقة أخرى، ليكن

: <math>\Gamma(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\frac{1}{\|\mathbf r\|}</math>

هو جهد نيوتون. هذا هو الحل الأساسي [[معادلة لابلاس|لمعادلة لابلاس]]، مما يعني أن لابلاسيان {{تعبير رياضي|Γ}} يساوي سالب [[دالة ديراك|دالة ديراك دلتا]] :

: <math>\nabla^2\Gamma(\mathbf r) + \delta(\mathbf r)=0.</math>

وبالتالي يكون الجهد القياسي هو تباعد [[الطي (رياضيات)|إلتواء]] {{تعبير رياضي|'''E'''}} حيث {{تعبير رياضي|&Gamma;}} :

: <math>\Phi = \operatorname{div}(\mathbf E * \Gamma).</math>

في الواقع، فإن الالتواء لمجال متجه غير دوراني مع جهد ثابت دوراني هو أيضاً غير دوراني. بالنسبة لمجال متجه غير دوراني {{تعبير رياضي|'''G'''}}، يمكن إثبات أن

: <math>\nabla^2\mathbf{G} = \mathbf{\nabla}(\mathbf{\nabla} \cdot{} \mathbf{G}).</math>

ولذلك

: <math>\nabla\operatorname{div}(\mathbf E * \Gamma) = \nabla^2(\mathbf E * \Gamma) = \mathbf E * \nabla^2\Gamma = -\mathbf E * \delta = -\mathbf E </math>

كما هو مطلوب.

وبشكل أعم، الصيغة

: <math>\Phi = \operatorname{div}(\mathbf E * \Gamma)</math>

تصح في فضاء إقليدي ذو بعد {{Mvar|n}} ( {{تعبير رياضي|''n'' > 2}} ) حيث يعطى جهد نيوتون عند ذلك بواسطة

: <math>\Gamma(\mathbf r) = \frac{1}{n(n-2)\omega_n \|\mathbf r\|^{n-2}}</math>

حيث {{Mvar|ω{{sub|n}}}} هو حجم الوحدة لل[[كرة نونية الأبعاد|كرة ذات البعد - {{Mvar|n}}]]. الاثبات مماثل. بدلاً من ذلك، يعطي التكامل بالتجزئة (أو بمزيد من الدقة [[الطي (رياضيات)|خصائص الالتواء]] )

: <math>\Phi(\mathbf r) = -\frac{1}{n\omega_n} \int_{\mathbb R^n} \frac{\mathbf E(\mathbf r')\cdot (\mathbf r-\mathbf r')}{\|\mathbf r-\mathbf r'\|^n} \,dV(\mathbf r').</math>

== انظر أيضا ==
* [[مبرهنة التدرج|نظرية التدرج]]
* النظرية الأساسية لتحليل المتجهات
* [[سطح متساوي الجهد|خطوط تساوي الجهد]] (جهد متماثل) وأسطح [[سطح متساوي الجهد|تساوي الجهد]]

== حواشٍ ==
{{ملاحظات}}

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{روابط شقيقة|commons=Scalar potential}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|تحليل رياضي}}

<nowiki>
[[تصنيف:حساب المتجهات]]</nowiki>

[[تصنيف:حساب المتجهات]]