عرض مصدر جذور الوحدة (رياضيات)

[[ملف:One5Root.svg|تصغير|يسار|جذور الوحدة من الدرجة الخامسة في [[مستوى عقدي|المستوى العقدي]]]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''جذر الوحدة''' {{إنج|Root of unity}} والذي قد يدعى عدد [[أبراهام دي موافر|دي موافر]]، هو [[عدد مركب|عدد عقدي]] يساوي واحدا عندما [[رفع (رياضيات)|يُرفع]] إلى قوة عدد صحيح ما n.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133747 | عنوان = معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع zthiztegia.elhuyar.eus | ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191216092651/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133747|تاريخ أرشيف=2019-12-16}}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/RootofUnity.html | عنوان = معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181003093518/http://mathworld.wolfram.com:80/RootofUnity.html | تاريخ أرشيف = 3 أكتوبر 2018 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://brilliant.org/wiki/roots-of-unity/ | عنوان = معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع brilliant.org | ناشر = brilliant.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190114063501/https://brilliant.org/wiki/roots-of-unity/ | تاريخ أرشيف = 14 يناير 2019 }}</ref> تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في [[نظرية الأعداد]] و[[حروف الزمر]] و[[حقل (رياضيات)|نظرية الحقول]] و[[تحويل فورييه المتقطع|تحويل فوريي المنقطع]].

مفهوم جذور الوحدة قابل للتعريف في أي [[حقل (رياضيات)|حقل]] كان. انظر إلى [[محدد حلقة (جبر)|محدد حلقة]] وإلى [[عدد صحيح جبري]]. وإلى [[حقل مغلق جبريا]].

== تعريف ==

جذر الوحدة من الدرجة n (أو جذر الوحدة النوني) حيث n هو عدد صحيح موجب (أي أن n = 1، 2، 3، …) هو [[عدد مركب]] z يحقق [[معادلة (توضيح)|المعادلة]] التالية:
:<math>z^n = 1. </math>
:<math>\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right)=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\quad\quad k=0,1,\dots , n-1.</math>

يقال عن جذر وحدة نوني أنه '''أولي''' أو '''بدائي'''، إذا استحال ايجاد عدد صحيح k أصغر قطعا من n حيث :
:<math>z^k \ne 1 \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n-1  ). </math>
إذا كان n [[عدد أولي|عددا أوليا]]، فإن جميع جذور الوحدة من الدرجة n باستثناء الواحد هي بدائية.

== أمثلة ==

[[ملف:3rd roots of unity.svg|تصغير|يسار|الجذور من الدرجة الثالثة للوحدة]]
[[ملف:complex x hoch 3.jpg|تصغير|يسار|رسم بياني يمثل الدالة ''z''<sup>3</sup> − 1, حيث الصفر ممثل باللون الأسود.]]
[[ملف:Complex x hoch 5.jpg|تصغير|يسار|رسم بياني يمثل الدالة ''z''<sup>5</sup> − 1, حيث الصفر ممثل باللون الأسود.]]

تنص [[صيغة دي موافر]] على ما يلي أيا كانت قيمة x عددا حقيقيا وقيمة n عددا صحيحا:

:<math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.</math>

انظر إلى [[مضلع منتظم]] وإلى [[دائرة وحدة]] وإلى [[صيغة أويلر]].

== انظر أيضا ==

* [[زمرة الدائرة]]
* [[حرف دركليه]]
* [[مجموع رامانجن]]
* [[متعددة حدود دويرانية|متعددة الحدود الدويرانية]]

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}
{{أعداد جبرية}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:1 (عدد)]]
[[تصنيف:أعداد جبرية]]
[[تصنيف:أعداد مركبة]]
[[تصنيف:متعددات الحدود]]