عرض مصدر ثابت أوميغا

{{يتيمة|تاريخ =ديسمبر 2023}}
{{مصادر أكثر}}
<div class="mobileonly"></div>
'''ثابت أوميجا''' هو [[ثابت رياضي]] يُشار إليه بالحرف اليوناني [[أوميغا|أوميجا]] ، والذي ينص على:

: <math>\Omega\,e^{\Omega}=1\,</math>

قيمة الثابت [[تقريب|بالتقريب]] هي: ...0.5671432904097838729999686622. انه يحقق المعادلات

: <math> e^{-\Omega}=\Omega\,</math> وأيضًا <math> \ln \Omega = - \Omega\,</math> .

وفقًا للرسمتين البيانيتين للدالتين <math>e^x</math> و <math>\frac{1}{x}</math> . عند نقطة تقاطعهما، إحداثي <math>x</math> هو ثابت أوميغا.

هذا الثابت هو الحل الوحيد لـ (1)W حيث أن W هي دالة W لامبرت . اسمها مشتق من الاسم الآخر لهذه الدالة وهو دالة أوميغا.

يمكن بناء ثابت أوميغا [[تكرار (رياضيات)|بشكل متكرر]] من خلال [[متتالية|سلسلة]] من التقريبات التي تبدأ عند &#x3A9;<sub>0</sub> معيّن وتستوفي الشرط:

: <math> \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}\,</math>

[[نهاية متتالية|تتقارب]] السلسلة إلى '''ثابت أوميغا''' عندما يقترب n إلى [[لانهاية|ما لا نهاية]] . يتم الحفاظ على الحد لأن ثابت أوميغا هو [[نقطة ثابتة (رياضيات)|"نقطة ثابتة"]] للدالة <math> e^{-x} </math> .

البناء الأكثر فعالية هو

: <math>\Omega_{n+1} = \frac{1+\Omega_n}{1+e^{\Omega_n}}</math>

لأن الدالة

: <math> f(x) = \frac{1+x}{1+e^x}</math>

هناك نفس [[نقطة ثابتة (رياضيات)|"النقطة الثابتة"]]، ولكن في هذه النقطة تكون [[مشتق (رياضيات)|المشتقة]] تساوي 0، وبالتالي فإن السلسلة تميل إلى الحد بشكل أسرع بكثير (يتضاعف عدد الأرقام الصحيحة تقريبًا في كل تكرار).

ثابت أوميغا يحافظ على الُمتَطابِقَة:

: <math> \Omega=\frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1 \,</math>

== صفات ==
ثابت أوميغا [[عدد غير كسري|غير نسبي]] (الأرقام بعد الفاصلة العشرية لا تنتهي).

[[برهان رياضي|البرهان]]: [[برهان بالتناقض|نفترض سلبيًا]] أنه عدد نسبي، فلذلك يوجد [[عدد صحيح|عددان صحيحان]] p وq حيث:

: <math> \frac{p}{q} = \Omega </math>

ويتحقق أن:

: <math> 1 = \frac{p e^{\left( \frac{p}{q} \right)}}{q}</math>
: <math> e = \left( \frac{q}{p} \right)^{\left( \frac{q}{p} \right)} = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}} </math>

لكن [[ه (رياضيات)|e]] هو [[عدد متسام|عدد متسامٍ]] ، في حين أن التعبير الذي وصلنا إليه هو جذر [[متعددة الحدود|متعدد الحدود (بولينوم)]] بمعاملات [[عدد كسري|نسبية]] (من الدرجة q)، أي [[عدد جبري|جبري]] . '''تناقض!'''

ولذلك ثابت أوميغا [[عدد متسام|متسامٍ]] أيضًا. لأنه إذا كان جبريًا فوفقًا [[مبرهنة ليندمان-فايرشتراس|لنظرية ليندمان-فايرشتراس]] <math>\exp(\Omega)</math> سيكون متعاليًا، وهكذا أيضًا <math>\exp^{-1}(\Omega)=-\Omega</math> وهو ما يتناقض مع افتراض أن ثابت أوميغا جبري.

=== تمثيلات متكاملة ===
يتم إعطاء الهوية المستحقة لفيكتور أدامشيك (Victor Adamchik){{بحاجة لمصدر}} من خلال العلاقة:

<math>\int_{-\infty}^\infty\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2} = \frac{1}{1+\Omega}.</math>

العلاقات الأخرى المستحقة لـ ميزو<ref>{{استشهاد بويب|عنوان=An integral representation for the principal branch of the Lambert ''W'' function|مسار= https://sites.google.com/site/istvanmezo81/other-things|تاريخ الوصول=24 April 2022|الأخير=Mező|الأول=István|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240104094734/https://sites.google.com/site/istvanmezo81/other-things|تاريخ أرشيف=2024-01-04}}</ref><ref>{{استشهاد بأرخايف|eprint=2012.02480|class=math.CA|last=Mező|first=István|title=An integral representation for the Lambert W function|date=2020}}.</ref> وكالوجين-جيفري-كورليس<ref>{{استشهاد بأرخايف|eprint=1103.5640|class=math.CV|last1=Kalugin|first1=German A.|first2=David J.|last2=Jeffrey|title=Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W|date=2011|last3=Corless|first3=Robert M.}}.</ref> هي:

<math>\Omega=\frac{1}{\pi}\operatorname{Re}\int_0^\pi\log\left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right) dt,</math>

<math>\Omega=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\log\left(1+\frac{\sin t}{t}e^{t\cot t}\right)dt.</math>

يمكن توسيع الهويتين الأخيرتين إلى قيم أخرى للدالة W (انظر أيضًا [[دالة لامبرت W|دالة لامبرت W § التمثيلات]]).

=== التسامي ===
الثابت Ω [[عدد متسام|متسامٍ]]. ويمكن اعتبار ذلك نتيجة مباشرة [[مبرهنة ليندمان-فايرشتراس|لنظرية ليندمان-فايرستراس]]. بالنسبة للتناقض لنفترض أن Ω جبرية. وفقًا للنظرية، {{تعبير رياضي|''e''<sup>−&Omega;</sup>}} متسامٍ، لكن Ω = {{تعبير رياضي|''e''<sup>−&Omega;</sup>}}، وهو تناقض. ولذلك يجب أن يكون متساميا.<ref name="Mezo">{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=On the Generalization of the Lambert W Function|صحيفة=Transactions of the American Mathematical Society|مسار= https://www.ams.org/journals/tran/2017-369-11/S0002-9947-2017-06911-7/S0002-9947-2017-06911-7.pdf|الأخير1=Mező|الأول1=István|تاريخ=November 2017|المجلد=369|العدد=11|صفحة=7928|تاريخ الوصول=28 April 2023|الأخير2=Baricz|الأول2=Árpád|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20240824005027/https://www.ams.org/journals/tran/2017-369-11/S0002-9947-2017-06911-7/S0002-9947-2017-06911-7.pdf|تاريخ أرشيف=2024-08-24}}</ref>

== المراجع ==
{{مراجع}}
== روابط خارجية ==

* {{ماثوورلد|OmegaConstant}}
* {{OEIS|A030178|סדרת הספרות העשרוניות של קבוע אומגה}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

[[تصنيف:لوغاريتمات]]
[[تصنيف:أعداد متسامية]]
[[تصنيف:ثوابت رياضية]]
[[تصنيف:رياضيات]]