عرض مصدر توفيق (رياضيات)

{{بطاقة عامة}}
{{أيضا|علم التعمية}}
{{ميز|تبديل (رياضيات)}}

[[ملف:5-choose-3 product rule.svg|تصغير|توضيح عملية التوفيق في اختيار 3 عناصر من أصل 5]]

'''التوافيق''' {{إنج|Combination}} (جمع '''التوفيق''') أو '''التوفيقات''' (ج '''التوفيقة''') ويسمى أيضا '''التوليف''' و'''التوليفة''' و'''التركيب'''، هي عدد التشكيلات الممكنه لانتقاء [[مجموعة جزئية]] من مجموعة كلية من العناصر عندما يكون ليس هناك أهمية للترتيب.أو بعبارة أخرى، «التوافيق» هي عبارة عن عدد الطرق التي يمكن فيها انتقاء «ر» من العناصر من ضمن «ن» من العناصر المتوفرة دون مراعاة لترتيب تسلسل العناصر المنتقاة ضمن التشكيلات الممكنة للمجموعة الجزئية.<ref>{{استشهاد بويب|مسار=http://rosettacode.org/wiki/Combinations|عنوان=Combinations - Rosetta Code|ناشر=| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171224002413/http://rosettacode.org/wiki/Combinations | تاريخ أرشيف = 24 ديسمبر 2017 }}</ref><ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد بكتاب |عنوان = High School Textbook for full-time student (Required) Mathematics Book II B| إصدار=2nd | مكان = China|لغة = Chinese |تاريخ=June 2006| ناشر = People's Education Press| صفحات = 107–116 | isbn = 978-7-107-19616-4 }}</ref><ref>{{استشهاد بويب|مسار=https://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html |تنسيق=PDF |عنوان=SAGE : Subsets |موقع=Sagemath.org |تاريخ الوصول=2017-04-10| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171014180912/http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html | تاريخ أرشيف = 14 أكتوبر 2017 }}</ref><math> \mathbf{C}(n,k)</math> عدد التوافيق أي مجموع الكيفيات التي يمكن أن ننتقي بها أفراد المجموعة دون مراعاة الترتيب., ويشير '''n''' لعدد أفراد المجموعة التي يراد ترتيبها. و''' k''' يرمز إلى كيفية أخذ أفراد المجموعة.

على سبيل المثال، ليكن لدينا ثلاثة فواكة وهي تفاحة وبرتقالة وكمثرى، فإنه يوجد ثلاث تشكيلات من عنصرين مختلفين منتقاه من هذه المجموعة وهي كالتالي:

تفاحه وكمثرى أو تفاحة وبرتقالة أو كمثرى وبرتقالة. بصيغة رياضية، '''توافيق لعدد <math>k</math>'''(''k''-'''combination''') من مجموعة ما <math>S</math> هي مجموعة جزئية بها <math>k</math> من العناصر المختلفة من <math>S</math>. فإذا كانت المجموعة <math>S</math> بها <math> n</math> من العناصر فإن عدد توافيق لعدد <math> k</math> من <math>S</math> يساوي [[معامل ذات الحدين|المعامل الثنائي]] المعرف بالعلاقة التالية:<br /><math> {n \choose k} = \frac{n\, (n-1) \ldots (n-k+1)}{k (k-1) \ldots 1}</math>،

: والتي يمكن كتابته بدلالة [[عاملي|المضروب]] بالشكل <math> \frac{n!}{k! (n-k)!}</math> شريطة أن <math> k >n</math> وتساوي صفر عندما <math> k<n</math>. دائما يرمز لمجموعة جميع التوافيق لعدد <math>k</math> من مجموعة <math>S</math> بالرمز <math> \binom{S}{k}</math>. 
: التوافيق أو التراكيب هي تشكيلة مكونة من <math> k</math> من العناصر مأخوذة من مجموعة بها عدد <math> n</math> عنصر بحيث اختيار العناصر هنا يتم بنفس الوقت وبدون تكرار. في حالة السماح بالتكرار فإن التراكيب في هذه الحالة تسمى بعدة مسميات أخرى ك مختارات لعدد <math> k</math> (''k''-selection)<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Ryser|1963|loc=p. 7}} also referred to as an ''unordered selection''.</ref> أو مجموعة متعددة من<math> k</math>(''k''-[[:en:Multiset|multiset]] )<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Mazur|2010|loc=p. 10}}</ref> أو توافيق من <math> k</math> بتكرار (''k''-combination with repetition).<ref>When the term ''combination'' is used to refer to either situation (as in {{Harvard citation|Brualdi|2010}}) care must be taken to clarify whether sets or multisets are being discussed.</ref> ففي المثال السابق، إذا سمحنا بتكرار العناصر عند إنتقاء فاكهتين من مجموعة الفواكة الثلاث فإنه بالإضافة إلى ماسبق الحصول عليه سيكون لدينا ثلاث مختارات إضافية هي: تفاحتين أو برتقالتين أو اثنان من الكمثرى.

في هذا المثال من السهل كتابة جميع التوافيق الممكنة لقلة الأعداد هنا لكن هذا مستحيل في حالة الجموعات الكبرى. فعلى سبيل المثال في لعبة [[:en:Hand (poker)|poker hand]] يمكن وصف توافيق لعدد <math> 5</math> من البطاقات من مختارة من <math> 52</math>بطاقة (أي أن <math> k=5,n=52</math>). لابد من أن يكون اختيار خمس بطاقات مختلفة لكن لايهم في هذه الحالة الترتيب. يوجد <math> 2,598,960</math>من التوافيق الممكنة في هذا المثال والذي يستحيل كتابتها جميعا لهذا العدد الكبير.

== مثال ==
لنفرض انه لدينا في صندوق أسود به اربع كرات ملونة سوداء وحمراء وزرقاء وصفراء ونريد سحب كرتين من الصندوق معا. عدد الحالات الممكنة هي:

n : عدد الكرات

K : عدد الكرات المراد انتقاؤها (2)

:<math> \mathbf{C}(n,k) = \mathbf{C}(4,2)= \mathbf{C}_2^4= {_4C_2} = {4 \choose 2} = \frac{4!}{2!(4-2)!}= \frac{4*3*2*1}{2*1*2*1 }</math>

أي 6 حالات ممكنة
وهي كالتالي
: (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، صفراء)
: (سوداء، حمراء) (حمراء، صفراء)
: (سوداء، صفراء)
حيث لايوجد هنا أهمية للترتيب كون الكرتين يسحبان معا، بمعنى اوضح الثنائية (سوداء، زرقاء) هي نفسها (زرقاء، سوداء) وتعد مرة واحدة وليس مرتين.

== عدد <math>k</math> من التوافيق (''k''-combinations) ==
يرمز لتوافيق بعدد '''<math>k</math>''' من مجموعة بها <math> n</math> من العناصر بالرمز<math> C(n,k)</math> أو برموز أخرى مختلفة مثل <math> C_k^n</math> أو<math>{}_nC_k</math>أو <math>{}^nC_k</math>أو <math>C_{n,k}</math> لكن الرمز <math>C_n^k</math> هو المعتاد إستخدامه في الكتابات الفرنسية والرومانية والروسية والصينية.<ref name="مولد تلقائيا1" /> نفس العدد يستخدم في الكتب الرياضية بالرمز <math> \binom{n}{k}</math> كمعامل [[مبرهنة ذي الحدين|لمعادلة ذات الحدين]]

فبالتالي فإنه يسمى '''معامل ثنائي''' (binomial coefficient). بالتالي ممكن تعريف هذا العدد بالمعادلة التالية في حالة <math>k\leq n</math>

<math>(1 + X)^n = \sum_{k\geq0}\binom{n}{k} X^k</math>،

ومن الواضح هنا أن <math>\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1</math>. في حالة فإن <math>k >n</math> فإن <math>\binom{n}{k}=0</math>.

ولإستخدام هذه المعاملات لحساب توافيق بعدد '''<math>k</math>''' من مجموعة <math>S</math> ، فإنه يمكن أولا اعتبار مجموعة بها <math>n</math> من المتغيرات المختلفة <math>X_s</math> والتي تم تمييزها بالعناصر<math>s</math> من <math>S</math> ، ثم حساب الناتج على كل عناصر <math>S</math> :

<math>\prod_{s \in S} (1+X_s)</math>.

هذا الحاصل به <math>2^n</math> من الحدود المختلفة مقابل كل المجموعات الجزئية من <math>S</math>، ومقابل كل مجموعة جزئية حاصل [[ضرب]] المتغيرات المقابلة <math>X_s</math>. نختارالآن <math>X_s=X</math> لكل قيم <math>s</math> فإن حاصل الضرب سيكون في هذه الحالة <math>(1+X)^n</math>والحد المقابل لكل توافيق لعدد '''<math>k</math>''' سيصبح <math>X^k</math>. فبالتالي فإن المعاملات الناتجة من هذه القوى يساوي عدد التوافيق لعدد '''<math>k</math>''' .

يمكن حساب المعاملات الثنائية مباشرة بطرق مختلفة. لحساب هذه المعاملات من <math>(1+X)^n</math> فإنه يمكن استخدام علاقة [[عودية|الإستدعاء الذاتي]] كالتالي

<math>\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}</math>لكل <math>0<k<n</math>.

وهذه المساواة ناتجة من <math> (1+X)^{n}=(1+X)^{n-1} (1+X)</math> . يتم حساب كل [[معامل ذات الحدين|معامل ثنائي]] باستخدام التعريف

<math>\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{k!}</math>.

عندما تكون <math>k</math> أكبر من <math>\frac{n}{2}</math> ، فإنه سيكون هناك حدود مشتركة بين البسط والمقام بالمعامل الثنائي وباختصارها ينتج لنا

<math>\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}</math> لكل <math>0\leq k\leq n</math>.

أيضا يمكن كتابة المعامل الثنائي بدلالة المضروب بالتعريف التالي

<math>\binom{n}{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}</math>.

=== مثال لحساب التوافيق ===
في هذا المثال نريد حساب التوافيق لاختيار خمس كروت من بين <math> 52</math>كرت مختلف كالتالي<math> {52 \choose 5} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} = 
2{,}598{,}960  .</math>بطريقة أخرى يمكن استخدام نفس المعادلة باستخدام صيغة المضروب لاختصار بعض الحدود المتكررة بالبسط والمقام بالطريقة التالية:

<math>\begin{alignat}{2}
  {52 \choose 5}
    &= \frac{52!}{5!47!} \\[5pt]
    &= \frac{52\times51\times50\times49\times48\times\cancel{47!}}{5\times4\times3\times2\times\cancel{1}\times\cancel{47!}} \\[5pt]
    &= \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2} \\[5pt]
    &= \frac{(26\times\cancel{2})\times(17\times\cancel{3})\times(10\times\cancel{5})\times49\times(12\times\cancel{4})}{\cancel{5}\times\cancel{4}\times\cancel{3}\times\cancel{2}} \\[5pt]
    &= {26\times17\times10\times49\times12} \\[5pt]
    &= 2{,}598{,}960.
\end{alignat}</math>

وهنا طريقة أخرى لإيجاد المطلوب بطريقة مختلفة مشابهه للطريقة الأولى لكن هنا تعتمد على الصيغة

<math> {n \choose k} = \frac { ( n - 0 ) }1 \times \frac { ( n - 1 ) }2 \times \frac { ( n - 2 ) }3 \times \cdots \times \frac { ( n - (k - 1) ) }k,</math>

والتي تنتج التالي

<math> {52 \choose 5} = \frac{52}1 \times \frac{51}2 \times \frac{50}3 \times \frac{49}4 \times \frac{48}5 = 2{,}598{,}960.</math>

باستخدام نفس الصيغة بدلالة المضروب وبدون أي اختصار أو تبسيط للحساب فإن هذا يتطلب حسابات أطول كما يلي:

<math>
\begin{align}
 {52 \choose 5} &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{52!}{5!(52-5)!} = \frac{52!}{5!47!} \\[6pt]
&= \tfrac{80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000}{120\times258,623,241,511,168,180,642,964,355,153,611,979,969,197,632,389,120,000,000,000} \\[6pt]
&= 2{,}598{,}960.
\end{align}</math>

<br />
=== تعداد <math>k</math> من التوافيق ===

== عدد التوافيق مع التكرار ==

=== مثال لحساب مجموعات ذات عناصر مكررة ===

== عدد <math>k</math> من التوافيق لكل <math>k</math> ==

== الإحتمالات: توافيق [[عشوائية]] ==

== للمزيد من القراءة ==

== ملاحظات ==

== مراجع ==
{{مراجع}}

== انظر أيضا ==
* [[تبديل (رياضيات)]]

{{شريط بوابات|رياضيات}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:توافقيات]]
[[تصنيف:نظرية الاحتمالات]]