عرض مصدر توزيع هندسي

[[ملف:Geometricpdf.jpg|تصغير|200بك|يسار]]

'''التوزيع الهندسي'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q111421033|صفحة=72}}</ref> (بالإنكليزية: Geometric distribution) وهو جزء من [[توزيع احتمال|التوزيع الاحتمالي]] المتعلق بتجارب بيرنولي، ويستخدم التوزيع الهندسي النموذج التالي: "كم عدد المحاولات التي نحتاجها للحصول على النتيجة المطلوبة؟"

إن التوزيع الهندسي يستخدم من أجل التوزيع التكراري للبيانات الكمية المنفصلة الثنائية من أجل معرفة احتمال ظهور المشاهدة W بعد k محاولة في [[تجربة|التجربة]] المنفذة في [[فضاء العينة|فضاء عينة]] S ذو المشاهدات المعلومة Ai ذات [[قيمة احتمالية|قيم الاحتمال]] الثابتة والمعلومة Pi

<math>P(W) = p*(1 - p)^{k-1}</math>.<ref>{{استشهاد بويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/GeometricDistribution.html | عنوان = معلومات عن توزيع هندسي على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20211223114811/https://mathworld.wolfram.com/GeometricDistribution.html | تاريخ أرشيف = 23 ديسمبر 2021 }}</ref>
== تعريف ==
'''التوزيع الهندسي''' هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن [[دالة|الدالة]] الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:

:: <math> f(x)=p{(1-p)^{x-1}}</math>

حيث أن ...,1,2,3=x

حيث أن <math>x\geq{1}</math> , <math>0\leq{p}\leq{1}</math> , <math>f(x)\geq{0}</math> لجميع قيم x

: <math>\sum^{\infty}_{x=1} p{(1-p)^{x-1}}=p\sum^{\infty}_{x=1} {(1-p)^{x-1}}=p\frac{1}{1-(1-p)}=1</math>

وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود [[متتالية هندسية|متوالية هندسية]].

يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .

== مثال ==

ليكن لدينا [[نرد]] متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟

الحل:
 
الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6

الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6

يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8

<math>P(W)= p(1-p)^{n-1}= pq^{n-1}</math>

بتعويض المعطيات

<math>p(w)=(1/6) *(5/6)^(8-1)</math>

<math>p(w)= 0.04651</math>

أي أنه من كل 100 محاولة لرمي [[نرد|النرد]] توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.

== دالة التوزيع التراكمية ==

: <math>F(x)=\sum^{x}_{s=1}f(s)=\sum^{x}_{s=1}pq^{s-1}</math>

: <math>= p\frac{(1-q)^x}{(1-q)}=1-q^x</math>

حيث أن ...,x=1,2,3

== المنوال ==
نلاحظ أن

:: <math> \frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{pq^x}{pq^(x-1)}=q<1</math>

أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1

== متوسط التوزيع ==

: <math>\mu=E(x)=\sum^{}_{x=1}xpq^{x-1}</math>

: <math>=p[1+2q+3q^2+4q^3+...]</math>

: <math>=p(1-q)^{-2}=\frac{1}{p}</math>

== تباين التوزيع ==
نعلم أن

: <math>\sum^{\infty}_{x=1}xq^{x}=q+2q^2+3q^3+\ldots</math>

:: <math>=q(1+2q+3q+...)</math>

:: <math>= \frac{q}{(1-q)^2}</math>

ب[[تفاضل]] الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على

: <math>\sum^{\infty}_{x=1}x^2q^{x-1}=\frac{1+q}{(1-q)^3}</math>

: <math>\therefore\sum^{\infty}_{x=1}x^2pq^{x-1}=p\frac{(1+q)}{p^3}</math>

:: <math>E(x^2)=\frac{1+q}{(p)^2}</math>

وبذلك يكون التباين

:: <math>\sigma^2=\frac{1+q}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}</math>

== دالة توليد العزوم ==

: <math>M(t)=\sum^{\infty}_{x=1}e^{xt}pq^{x-1}</math>

: <math>=pe^t\sum^{\infty}_{x=1}(qe^{t})^{x-1}</math>

:: <math>=\frac{pe^{t}}{1-qe^{t}}</math>

و حيث أن

: <math> M'(x)=\frac{pe^{t}}{(1-qe^{t})^2} \,</math>

: <math>M''(t)=\frac{pe^t(1+qe^t)}{(1-qe^t)^3}\,</math>

: <math>\therefore\mu=\mu'_1=M'(0)=\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}\,</math>

: <math>\mu'_2=M''(0)=\frac{p(1+q)}{(1-q)^3}=\frac{1+q}{p^2}\,</math>

: <math>\sigma^2=\mu'_2-\mu^2=\frac{1+q}{p^2}-(\frac{1}{p})^2=\frac{q}{p^2}\,</math>

مثال:

احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.

الحل:

: <math>p=0.4    \Longrightarrow    q=0.6</math>

احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :

: <math>p=(0.4)(0.6)^3=0.0864</math>

مثال:

إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد

1-	التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .

2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.

3-	ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .

4-	ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.

الحل :

احتمال ولادة ذكر p= 1/3

X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر

1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي

...,1,2,3=x

,.<math> f(x)=\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{x-1}</math>

2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث

<math>\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{(\frac{1}{3})}=3</math>

3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث

<math>p(x=2)=f(2)=(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})=\frac{2}{9}</math>

4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو

<math>p(x\leq3)=F(3)=1-q^3=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}=0.7</math>

== المراجع ==

{{مراجع}}

* الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات
* المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال

{{بعض التوزيعات الاحتمالية الشائعة بمتغير واحد}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|إحصاء|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:احتمالات]]
[[تصنيف:بليز باسكال]]
[[تصنيف:توزيعات الاحتمال]]
[[تصنيف:دوال]]
[[تصنيف:هندسة رياضية]]