عرض مصدر توزيع بواسون

{{توزيع احتمالي|
 اسم = توزيع بواسون|
 نمط = كثافة |
 صورة د.ك.ا = [[ملف:Poisson distribution PMF.png|325بك|دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع البواسوني]]|
 صورة د.ت.ت =[[ملف:Poisson distribution CMF.png|200بك|دالة التوزيع التراكمي للتوزيع البواسوني]]<br /><small> </small>|
 مؤشرات = <math>\lambda \in [0,\infty[</math>|
 دعم =<math>k \in \{0,1,2,\ldots\}</math>|
pdf =<math>\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!</math>|
 د.ت.ت =<math>\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ for }k\ge 0</math>| 
 متوسط =<math>\lambda\,</math>|
 وسيط =<math>\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor</math>|
 منوال =<math>\lceil\lambda\rceil - 1</math>|
 تباين =<math>\lambda\,</math>|
 ميلان =<math>\lambda^{-1/2}\,</math>|
 كورتوسيس =<math>\lambda^{-1}\,</math>|
 اعتلاج =<math>\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}</math>| د.م.ع =<math>\exp(\lambda (e^t-1))\,</math>|
 دالة مميزة =<math>\exp(\lambda (e^{it}-1))\,</math>
}}

'''توزيع بواسون''' {{إنج|Poisson distribution}}({{IPAc-en|'|p|w|ɑː|s|ɒ|n}}; {{أصد-فرنسي|pwasɔ̃}})،(ويسمى أيضا '''قانون بواسون للأعداد الصغيرة'''<ref>p963-965, [[Jan Gullberg]], Mathematics from the birth of numbers, W. W. Norton & Company; ISBN 0-393-04002-X ISBN 978-0-393-04002-9</ref>) هو [[توزيع احتمال|توزيع احتمالي منفصل]] يعبر عن احتمالية حدوث عدد من الأحداث ضمن فترة محددة من الوقت إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل وسطي معروف وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث.

في نظرية الاحتمالات والإحصاءات هو [[توزيع احتمال|التوزيع الاحتمالي المنفصل]] الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دينيس بواسون، وهو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمال حدوث عدد معين من الأحداث في الفاصل الزمني أو المكان إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل متوسط ثابت معروف وبشكل مستقل عن الزمن منذ آخر حدث. يمكن أيضًا استخدام توزيع بواسون لعدد الأحداث في فترات زمنية محددة أخرى مثل المسافة أو المنطقة أو الحجم.

على سبيل المثال، يتلقى مركز الاتصال الهاتفي 180 مكالمة في المتوسط في الساعة، 24 ساعة في اليوم. المكالمات مستقلة. استقبال واحد لا يغير من احتمالية وصول الآخر. عدد المكالمات التي يتم تلقيها خلال أي [[دقيقة]] له توزيع احتمالية بواسون: الرقم الأكثر احتمالًا هو 3، ولكن من المحتمل أيضًا أن يكون الرقم 2 أو 4 محتملًا؛ وهناك احتمال ضئيل لكونه منخفضًا حتى الصفر وكذلك احتمال صغير جدًا أن يكون 10 .

مثال آخر هو عدد أحداث الانحلال التي تحدث من مصدر مشع في فترة مراقبة معينة قصيرة.

في مدّة زمنية T، يحصل الحدث بمعدل λ مرّات (λ أقل من 5 مثلا). لنرمز ب X [[متغير عشوائي|المتغير العشوائي]] الذي يمثل عدد المرّات التي سيحصل فيها ال[[حدث (فيزياء)|حدث]] في X. T يمكن أن يساوي 0، 1، 2...

يتبع هذا المتغير العشوائي القانون التالي:
:<math>p(k) = P(X = k)= \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}\,</math>
مهما كان العدد الطبيعي k.

* λعدد حقيقي موجب
* (p(k : احتمال حصول الحدث k في T.

هذا ما يدعى توزيع بواسون (أو قانون بواسون) ذا المعلمة λ.

== تعريفات ==

=== دالة الكتلة الاحتمالية ===
يعتبر توزيع بواسون شائعًا لنمذجة ''عدد المرات التي يقع فيها الحدث في فترة زمنية أو مساحة'' .

يُقال إن [[:en:Random variable|المتغير العشوائي]] X المنفصل له توزيع بواسون مع المعامل المتغير λ> 0 إذا كان لـ k = 0، 1، 2... دالة الكتلة الاحتمالية لـ X تعطى بواسطة:{{استشهاد متعدد|Yates2014|p=60}}

<math>\!f(k; \lambda)= \Pr(X = k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},</math>

عندما

* ''e'' هو [[ه (رياضيات)|رقم أويلر]] (''e'' = 2.71828. . .)
* k هو عدد مرات الحدوث
* !''k'' هو [[عاملي|مضروب]] ''k'' .

[[عدد حقيقي|الرقم الحقيقي]] الموجب ''λ'' يساوي [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] لـ ''X'' وأيضًا [[تباين (إحصاء)|تباينها]] <ref>For the proof, see : [[proofwiki:Expectation of Poisson Distribution|Proof wiki: expectation]] and [[proofwiki:Variance of Poisson Distribution|Proof wiki: variance]]</ref>

: <math>\lambda=\operatorname{E}(X)=\operatorname{Var}(X).</math>

يمكن تطبيق توزيع بواسون على الأنظمة التي بها [[عدد كبير من الأحداث النادرة|عدد كبير من الأحداث المحتملة، كل منها نادر الحدوث]]. عدد مثل هذه الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، في ظل الظروف المناسبة، هو رقم عشوائي مع توزيع بواسون.

يمكن تكييف المعادلة إذا، بدلاً من متوسط عدد الأحداث <math> \lambda </math>، نحصل على معدل زمني لعدد الأحداث <math> r </math> يحدث. ثم <math> \lambda = r t </math> (عرض <math> r</math> عدد الأحداث لكل وحدة زمنية)، و

: <math>P(k \text{ events in interval } t) = \frac{(r t)^k e^{-r t}}{k!}</math>

'''مثال'''

قد يكون توزيع بواسون مفيدًا لنمذجة أحداث مثل

* عدد النيازك التي يزيد قطرها عن متر واحد والتي تضرب الأرض في السنة.
* عدد المرضى الذين يصلون إلى غرفة الطوارئ بين الساعة 10 و 11 مساءً.
* عدد فوتونات الليزر التي تصطدم بالكاشف في فترة زمنية معينة.

=== الافتراضات والصلاحية ===
يعتبر توزيع بواسون نموذجًا مناسبًا إذا كانت الافتراضات التالية صحيحة: {{استشهاد متعدد|Koehrsen2019}}

* {{Mvar|k}} هو عدد المرات التي يقع فيها حدث ما في فترة ما ويمكن لـ {{Mvar|k}} أن تأخذ القيم 0، 1، 2....
* لا يؤثر وقوع حدث واحد على احتمال وقوع حدث ثان. أي أن الأحداث تحدث بشكل مستقل.
* متوسط المعدل الذي تحدث به الأحداث مستقل عن أي تكرارات. من أجل التبسيط، يُفترض عادةً أن يكون هذا ثابتًا، ولكن قد يختلف عمليًا مع مرور الوقت.
* لا يمكن أن يحدث حدثان في نفس اللحظة بالضبط؛ بدلاً من ذلك، في كل فترة فرعية صغيرة جدًا، يحدث حدث واحد بالضبط أو لا يحدث.

إذا كانت هذه الشروط صحيحة، فإن {{Mvar|k}} هو متغير بواسون العشوائي، وتوزيع {{Mvar|k}} هو توزيع بواسون.

توزيع بواسون هو أيضًا [[نهاية (رياضيات)|حد]] [[توزيع ثنائي الحدين|التوزيع ذي الحدين]]، حيث يساوي احتمال النجاح لكل تجربة {{Mvar|λ}} مقسومًا على عدد التجارب، حيث يقترب عدد التجارب من اللانهاية (انظر التوزيعات ذات الصلة).

==== أمثلة على احتمالية توزيعات بواسون ====
{{بداية-عمو|gap=5em}}
{{فاصل-عمو}}
في نهر معين، تحدث فيضانات الفائض مرة كل 100 عام في المتوسط. احسب احتمال{{mvar|k}}= 0، 1، 2، 3، 4، 5، أو 6 فيضان فيضان في فترة 100 سنة، على افتراض أن نموذج بواسون مناسب.

لأن متوسط معدل الحدث هو فيضان فائض واحد لكل 100 عام، ''λ'' = 1

: <math> P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \frac{1^k e^{-1}}{k!}</math>

: <math> P(k = 0) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{e^{-1}}{1} \approx 0.368 </math>

: <math> P(k = 1) = \frac{1^1 e^{-1}}{1!} = \frac{e^{-1}}{1} \approx 0.368 </math>

: <math> P(k = 2) = \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.184 </math>

{{فاصل-عمو}}يعطي الجدول أدناه احتمالية حدوث 0 إلى 6 فيضانات في فترة 100 عام.

{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|k}} !! ''P''({{mvar|k}}الفيضانات الفائضة في 100 عام)
|-
| 0|| 0.368
|-
| 1|| 0.368
|-
| 2|| 0.184
|-
| 3|| 0.061
|-
| 4|| 0.015
|-
| 5|| 0.003
|-
| 6|| 0.0005
|}
{{نهاية-عمو}}
{{بداية-عمو}}
{{فاصل-عمو}}
أفاد أوغارتي وزملاؤه أن متوسط عدد الأهداف في إحدى مباريات كأس العالم لكرة القدم يبلغ 2.5 تقريبًا وأن نموذج بواسون مناسب.
{{استشهاد متعدد|Ugarte2016}}
لأن متوسط معدل الحدث 2.5 هدف لكل مباراة، ''λ'' = 2.5.

: <math> P(k) = \frac{2.5^k e^{-2.5}}{k!}</math>

: <math> P(k = 0) = \frac{2.5^0 e^{-2.5}}{0!} = \frac{e^{-2.5}}{1} \approx 0.082 </math>

: <math> P(k = 1) = \frac{2.5^1 e^{-2.5}}{1!} = \frac{2.5 e^{-2.5}}{1} \approx 0.205 </math>

: <math> P(k = 2) = \frac{2.5^2 e^{-2.5}}{2!} = \frac{6.25 e^{-2.5}}{2} \approx 0.257 </math>

{{فاصل-عمو}}
يعطي الجدول أدناه الاحتمال من 0 إلى 7 أهداف في المباراة.

{| class="wikitable"
|-
! {{Mvar|k}} !! ''P''({{Mvar|k}}أهداف في مباراة كأس العالم لكرة القدم)
|-
| 0|| 0.082
|-
| 1|| 0.205
|-
| 2|| 0.257
|-
| 3|| 0.213
|-
| 4|| 0.133
|-
| 5|| 0.067
|-
| 6|| 0.028
|-
| 7|| 0.010
|}
{{نهاية-عمو}}

مرة واحدة في الأحداث الفاصلة: حالة خاصة من ''λ'' = 1 و ''k'' = 0

لنفترض أن الفلكيين يقدرون أن النيازك الكبيرة (فوق حجم معين) ضربت الأرض في المتوسط مرة كل 100 سنة ''(λ'' = 1 حالة لكل 100 سنة)، وأن عدد الزيارات النيزك يتبع توزيع بواسون. ما هو احتمال {{Mvar|k}} = 0 يضرب نيزك في المائة عام القادمة؟

: <math> P(k = 0) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{1}{e} \approx 0.37 </math>

في ظل هذه الافتراضات، فإن احتمال عدم اصطدام أي نيازك كبيرة بالأرض خلال المائة عام القادمة هو 0.37 تقريبًا. الباقي 1&nbsp;-&nbsp;0.37&nbsp;= 0.63 هو احتمال حدوث 1، 2، 3، أو أكثر من ضربات نيزك كبير في المائة عام القادمة. في المثال أعلاه، حدث فيضان فائض مرة كل 100 عام (''λ''&nbsp;=&nbsp;1). كان احتمال عدم حدوث فيضانات فائضة خلال 100 عام تقريبًا 0.37، بنفس الحساب.

بشكل عام، إذا حدث حدث ما في المتوسط مرة واحدة لكل فترة زمنية (''λ''&nbsp;=&nbsp;1)، وتتبع الأحداث توزيع بواسون، ثم {{بدون لف|1='' P '' (0 أحداث في الفترة التالية) & nbsp ؛ = 0.37}}. بالإضافة إلى ذلك، ''P'' (حدث واحد بالضبط في الفترة التالية) = 0.37، كما هو موضح في الجدول لفيضانات الفائض.

=== أمثلة تنتهك افتراضات بواسون ===
من المحتمل ألا يتبع عدد الطلاب الذين يصلون إلى [[مركزالطالب|اتحاد الطلاب]] في الدقيقة توزيع بواسون، لأن المعدل ليس ثابتًا (معدل منخفض أثناء وقت الفصل، ومعدل مرتفع بين أوقات الفصل) وقادمات الطلاب الفرديين ليسوا مستقلين (الطلاب تميل إلى المجيء في مجموعات).

قد لا يتبع عدد الزلازل التي تبلغ قوتها 5 درجات سنويًا في بلد ما توزيع بواسون إذا زاد زلزال واحد كبير من احتمال حدوث توابع من نفس الحجم.

الأمثلة التي يتم فيها ضمان حدث واحد على الأقل لا يتم توزيع بواسون؛ ولكن يمكن نمذجتها باستخدام [[توزيع بواسون الصفر المقتطع|توزيع بواسون بدون اقتطاع]].

يمكن نمذجة توزيعات العد التي يكون فيها عدد الفترات ذات الأحداث الصفرية أعلى من المتوقع بواسطة نموذج بواسون باستخدام [[نموذج صفر تضخم|نموذج مضخم صفري]].

== تميز ==

=== الإحصاء الوصفي ===

* [[قيمة متوقعة|تساوي القيمة]] [[تباين (إحصاء)|والتباين]] المتوقعان لمتغير عشوائي موزع بواسون λ.
* [[معامل الاختلاف]] هو <math>\textstyle \lambda^{-1/2}</math> بينما [[مؤشر التشتت]] 1. {{استشهاد متعدد|Johnson2005}}
* [[انحراف مطلق|متوسط الانحراف المطلق]] عن المتوسط هو {{استشهاد متعدد|Johnson2005}}

:: <math>\operatorname{E}[|X-\lambda|]= \frac{2 \lambda^{\lfloor\lambda\rfloor + 1} e^{-\lambda}}{\lfloor\lambda\rfloor!}.</math>
:* [[منوال|وضع]] المتغير العشوائي الموزع بواسون مع عدد غير صحيح يساوي <math>\scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor</math>، وهو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي&nbsp;''λ'' . هذا هو مكتوب أيضا [[دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى|الكلمة]] (λ). عندما λ هو عدد صحيح موجب، وسائط هي ''λ'' ''λ'' و&nbsp;-&nbsp;1.
:* جميع [[تراكمي|تراكمات]] توزيع بواسون تساوي القيمة المتوقعة&nbsp;''λ'' . [[لحظة عاملية|العزم المضروب]] ''n'' لتوزيع بواسون هو ''λ'' <sup>''n''</sup> .
:* تتحلل أحيانًا [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] [[عملية بواسون|لعملية بواسون]] إلى نتاج ''الكثافة'' ''والتعرض'' (أو يتم التعبير عنها عمومًا على أنها جزء لا يتجزأ من «وظيفة الكثافة» عبر الزمان أو المكان، والتي توصف أحيانًا باسم «التعرض»). {{استشهاد متعدد|Helske2017}}

=== الوسيط ===
[[ملف:Poisson-Verteilung 1 5 9.svg|تصغير|يسار|400px|دالة الاحتمالات لتوزيع بواسون للقيم المحتملة <math>\lambda</math> = 1 و 5 و 9]]

حدود الوسيط (<math>\nu</math>) من التوزيع معروف [[المصطلحات الرياضية|وحاد]]: {{استشهاد متعدد|Choi1994}}

: <math> \lambda - \ln 2 \le \nu < \lambda + \frac{1}{3}. </math>

=== لحظات أعلى ===
[[عزم (رياضيات)|اللحظات]] الأعلى حول الأصل، ''m ·'' <sub>''k''</sub> لتوزيع بواسون، هي [[كثيرات الحدود Touchard|توشارد كثيرات الحدود]] في λ:

<math> m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},</math>

: حيث تشير {الأقواس} إلى [[أرقام ستيرلنغ من النوع الثاني]]. {{استشهاد متعدد|Riordan1937}} {{استشهاد متعدد|Haight1967}} معاملات كثيرات الحدود لها معنى [[تركيبات|اندماجي]]. في الواقع، عندما تكون القيمة المتوقعة لتوزيع بواسون هي 1، فإن [[صيغة دوبينسكي]] تقول إن اللحظة ''n'' تساوي عدد [[تجزئة مجموعة|الأقسام لمجموعة]] من الحجم ''n'' .

للحظات غير المركزية نحددها <math>B=k/\lambda</math>، ثم {{استشهاد متعدد|Jagadeesan2017}}

<math>
E[X^k]^{1/k} \le C\cdot
\begin{cases}
k/B & \text{if}\quad B < e \\
k/\log B & \text{if}\quad B\ge e
\end{cases}
</math>

عندما <math>C</math> هو الثابت المطلق أكبر من 0.

=== مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة بواسون ===

: لو <math>X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)</math> بالنسبة <math>i=1,\dotsc,n</math> [[استقلال (نظرية الاحتمال)|مستقلة]]، إذن <math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)</math> . {{استشهاد متعدد|Lehmann1986}} العكس هو [[نظرية رايكوف]]، التي تقول أنه إذا كان مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين موزعًا بواسون، فسيكون كذلك كل من هذين المتغيرين العشوائيين المستقلين. {{استشهاد متعدد|Raikov1937}} {{استشهاد متعدد|vonMises1964}}

=== خصائص أخرى ===

* توزيعات بواسون هي توزيعات احتمالية [[القسمة اللانهائية (الاحتمالية)|لا نهائية للقسمة]]. {{استشهاد متعدد|Laha1979}} {{استشهاد متعدد|Johnson2005}}
* [[تباعد كولباك - ليبلير|الاختلاف]] الموجه [[تباعد كولباك - ليبلير]] <math>\operatorname{Pois}(\lambda_0)</math> من <math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math> اعطي من قبل

:: <math>\operatorname{D}_{\text{KL}}(\lambda\mid\lambda_0) = \lambda_0 - \lambda + \lambda \log \frac{\lambda}{\lambda_0}.</math>
:* <math> X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> يمكن اشتقاقها باستخدام وسيطة [[ملزمة تشيرنوف|منضمة لـ تشيرنوف]]. {{استشهاد متعدد|Mitzenmacher2005}}
:
: <math> P(X \geq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda}}{x^x}, \text{ for } x > \lambda</math> و
: <math> P(X \leq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda} }{x^x}, \text{ for } x < \lambda.</math>

* يمكن تشديد احتمال الذيل العلوي (بمعامل لا يقل عن اثنين) على النحو التالي: {{استشهاد متعدد|Short2013}}

<math> P(X \geq x) \leq \frac{e^{-\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)}}{\max{(2, \sqrt{4\pi\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)}})}, \text{ for } x > \lambda,</math>

أين <math>\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)</math> هو التباعد الموجه كولباك – ليبلر، كما هو موضح أعلاه.

المتباينات التي تربط دالة التوزيع لمتغير بواسون العشوائي <math> X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> إلى دالة [[توزيع احتمالي طبيعي|التوزيع العادي القياسية]] <math> \Phi(x) </math> هي كالتالي: {{استشهاد متعدد|Short2013}}

<math> \Phi\left(\operatorname{sign}(k-\lambda)\sqrt{2\operatorname{D}_{\text{KL}}(k\mid\lambda)}\right) < P(X \leq k) < \Phi\left(\operatorname{sign}(k-\lambda+1)\sqrt{2\operatorname{D}_{\text{KL}}(k+1\mid\lambda)}\right), \text{ for } k > 0,</math>

أين <math>\operatorname{D}_{\text{KL}}(k\mid\lambda)</math> هو مرة أخرى اختلاف كولباك – ليبلر الموجه.

=== سباقات بواسون ===
يترك <math>X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> و <math>Y \sim \operatorname{Pois}(\mu)</math> تكون متغيرات عشوائية مستقلة، مع <math> \lambda < \mu </math>، ثم لدينا ذلك

<math>
 \frac{e^{-(\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2 }}{(\lambda + \mu)^2} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{2\sqrt{\lambda \mu}} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{4\lambda \mu} \leq P(X - Y \geq 0) \leq e^{- (\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2}
</math>

تم إثبات الحد الأعلى باستخدام حد تشيرنوف القياسي.

يمكن إثبات الحد الأدنى بملاحظة ذلك <math> P(X-Y\geq0\mid X+Y=i)</math> هو احتمال أن <math>Z \geq \frac{i}{2}</math>، أين <math>Z \sim \operatorname{Bin}\left(i, \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)</math>، والتي يحدها أدناه <math> \frac{1}{(i+1)^2} e^{\left(-iD\left(0.5 \| \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)\right)} </math>، أين <math>D</math> هو [[تباعد كولباك - ليبلير|إنتروبيا نسبية]] (انظر المدخل على [[توزيع ثنائي الحدين|حدود ذيول التوزيعات ذات الحدين]] لمزيد من التفاصيل). كذلك مشيرا إلى أن <math> X+Y \sim \operatorname{Pois}(\lambda+\mu)</math>، وحساب الحد الأدنى على الاحتمال غير المشروط يعطي النتيجة. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في ملحق كاماث وآخرون. {{استشهاد متعدد|Kamath2015}}

== التوزيعات ذات الصلة ==

=== عام ===

* لو <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> و <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> مستقلة، ثم الاختلاف <math> Y = X_1 - X_2</math> يتبع توزيع سكيلام.
* لو <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> و <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> مستقلة، ثم توزيع <math>X_1</math> على الشرطي <math>X_1+X_2</math> هو [[توزيع ثنائي الحدين|توزيع ذو الحدين]].

: على وجه التحديد، إذا <math>X_1+X_2=k</math>، من ثم <math>\!X_1\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))</math> .
: بشكل عام، إذا كانت ''X'' <sub>1</sub>، ''X'' <sub>2</sub>. . . ''X'' <sub>''n''</sub> هي متغيرات بواسون العشوائية المستقلة مع المعلمات ''λ'' <sub>1</sub>، ''λ'' <sub>2</sub>... ''λ'' <sub>''n''</sub> ثم
:: معطى <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math><math>X_i \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right)</math> . في الحقيقة، <math>\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right)</math>

* لو <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math> وتوزيع <math>Y</math>، شرطي على ''X''&nbsp;=&nbsp;''ك''، هو [[توزيع ثنائي الحدين|توزيع ذي الحدين]]، <math>Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p)</math>، ثم يتبع توزيع Y توزيع بواسون <math>Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p)\,</math> . في الواقع، إذا <math>\{Y_i\} </math>، الشرطي على X = k، يتبع توزيعًا متعدد الحدود، <math>\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right)</math>، ثم كل منهما <math>Y_i</math> يتبع توزيع بواسون المستقل <math>Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0</math> .
* يمكن اشتقاق توزيع بواسون كحالة مقيدة للتوزيع ذي الحدين حيث أن عدد المحاكمات يذهب إلى اللانهاية والعدد [[قيمة متوقعة|المتوقع]] للنجاحات يظل ثابتًا - انظر قانون الأحداث النادرة أدناه. لذلك، يمكن استخدامه كتقريب للتوزيع ذي الحدين إذا كان ''n'' كبيرًا بدرجة كافية وكان ''p'' صغيرًا بدرجة كافية. هناك قاعدة عامة تنص على أن توزيع بواسون هو تقريب جيد للتوزيع ذي الحدين إذا كان n على الأقل 20 و ''p'' أصغر من أو يساوي 0.05، وتقريب ممتاز إذا كان ''n''&nbsp;≥&nbsp;100 و ''np''&nbsp;≤&nbsp;10- {{استشهاد متعدد|NIST2006}}

<math>F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)\,</math>

* توزيع بواسون هو [[حالة خاصة]] لتوزيع بواسون المركب المنفصل (أو توزيع بواسون المتلعثم) بمعامل فقط. {{استشهاد متعدد|Zhang2013|Zhang2016}} يمكن استنتاج توزيع بواسون المركب المنفصل من التوزيع المحدود للتوزيع أحادي المتغير متعدد الحدود. وهي أيضًا [[توزيع بواسون المركب|حالة خاصة]] [[توزيع بواسون المركب|لتوزيع بواسون المركب]].
* للحصول على قيم كبيرة بما فيه الكفاية لـ λ، (مثل λ> 1000)، [[توزيع احتمالي طبيعي|التوزيع الطبيعي]] بمتوسط λ والتباين λ (الانحراف المعياري <math>\sqrt{\lambda}</math>) هو تقريب ممتاز لتوزيع بواسون. إذا كانت أكبر من حوالي 10، فإن التوزيع الطبيعي هو تقريب جيد إذا تم إجراء [[تصحيح الاستمرارية|تصحيح استمراري]] مناسب، أي إذا كان P (''X''&nbsp;≤&nbsp;''x'')، حيث ''x'' هو عدد صحيح غير سالب، يتم استبداله بـ P (''X''&nbsp;≤&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;0.5).

<math>F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)\,</math>

* [[التحول استقرار التباين|تحول استقرار التباين]]: إذا <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>، من ثم

:: <math>Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1)</math>، {{استشهاد متعدد|Johnson2005}}
: و
:: <math>Y = \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(\sqrt{\lambda};1/4)</math> . {{استشهاد متعدد|McCullagh1989}}
: في ظل هذا التحول، التقارب إلى الحالة الطبيعية (مثل <math>\lambda</math> الزيادات) أسرع بكثير من المتغير غير المحول.  تحويلات أخرى، أكثر تعقيدًا قليلاً، لتثبيت التباين متاحة، {{استشهاد متعدد|Johnson2005}} أحدها هو [[تحويل أنسكومب]]. {{استشهاد متعدد|Anscombe1948}} انظر [[تحويل البيانات (إحصائيات)|تحويل البيانات (الإحصائيات)]] لمزيد من الاستخدامات العامة للتحولات.

* إذا كان لكل ''ر''&nbsp;>&nbsp;0 عدد الوافدين في الفترة الزمنية [0،&nbsp;''t'' ] يتبع توزيع بواسون بمتوسط ''λt''، ثم يكون تسلسل أوقات الوصول بين المتغيرات المستقلة [[توزيع أسي|والأسية]] الموزعة [[توزيع أسي|بشكل]] متماثل لها متوسط&nbsp;1 / ''λ'' . {{استشهاد متعدد|Ross2010}}
* ترتبط [[دالة التوزيع التراكمي|دالات التوزيع التراكمي لتوزيعات]] بواسون [[توزيع خي تربيع (توزيع مربع كاي)|وكي تربيع]] بالطرق التالية: {{استشهاد متعدد|Johnson2005}}

<math>F_\text{Poisson}(k;\lambda) = 1-F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) \quad\quad \text{ integer } k,</math>{{استشهاد متعدد|Johnson2005}}

و

<math>\Pr(X=k)=F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) -F_{\chi^2}(2\lambda;2k) .
</math>

=== تقريب بواسون ===
افترض <math>X_1\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1), X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_2), \dots, X_n\sim\operatorname{Pois}(\lambda_n)</math> أين <math>\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n=1</math>، ثم <ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/
| عنوان = 1.7.7 – Relationship between the Multinomial and Poisson &#124; STAT 504
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190806195228/https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/
|تاريخ أرشيف=2019-08-06}}</ref> <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)</math> يتم [[توزيع متعدد الحدود|توزيعها بشكل متعدد الحدود]] <math>(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \operatorname{Mult}(N, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)</math> مشروط <math>N = X_1 + X_2 + \dots X_n</math> .

هذا يعني {{استشهاد متعدد|Mitzenmacher2005}}، من بين أمور أخرى، ذلك لأي وظيفة غير سلبية <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>، لو <math>(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)\sim\operatorname{Mult}(m, \mathbf{p})</math> يتم توزيعها متعدد الحدود، إذن

: <math>
\operatorname{E}[f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)] \le e\sqrt{m}\operatorname{E}[f(X_1, X_2, \dots, X_n)]
</math>

عندما <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)\sim\operatorname{Pois}(\mathbf{p})</math> .

عامل <math>e\sqrt{m}</math> يمكن استبداله بـ 2 إذا <math>f</math> يُفترض أيضًا أنه يتزايد أو يتناقص بشكل رتيب.

=== توزيع بواسون ثنائي المتغير ===
تم تمديد هذا التوزيع إلى حالة [[التوزيع الاحتمالي المشترك|ثنائية المتغير]]. {{استشهاد متعدد|Loukas1986}} [[دالة مولدة|وظيفة التوليد]] لهذا التوزيع هي

: <math> g( u, v ) = \exp[ ( \theta_1 - \theta_{12} )( u - 1 ) + ( \theta_2 - \theta_{12} )(v - 1) + \theta_{12} ( uv - 1 ) ] </math>

مع

<math> \theta_1, \theta_2 > \theta_{ 12 } > 0 \, </math>

التوزيعات الهامشية هي بواسون ''(θ'' <sub>1)</sub> وبواسون ''(θ'' <sub>2)</sub> ومعامل الارتباط يقتصر على مجموعة

<math> 0 \le \rho \le \min\left\{ \frac{ \theta_1 }{ \theta_2 }, \frac{ \theta_2 }{ \theta_1 } \right\}</math>

طريقة بسيطة لتوليد توزيع بواسون ثنائي المتغير <math>X_1,X_2</math> هو أخذ ثلاث توزيعات بواسون مستقلة <math>Y_1,Y_2,Y_3</math> بالوسائل <math>\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3</math> ثم ضبط <math>X_1 = Y_1 + Y_3,X_2 = Y_2 + Y_3</math> . دالة الاحتمال لتوزيع بواسون ثنائي المتغير هي

<math>
\begin{align}
& \Pr(X_1=k_1,X_2=k_2) \\
= {} & \exp\left(-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3\right) \frac{\lambda_1^{k_1}}{k_1!} \frac{\lambda_2^{k_2}}{k_2!} \sum_{k=0}^{\min(k_1,k_2)} \binom{k_1}{k} \binom{k_2}{k} k! \left( \frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2}\right)^k
\end{align}
</math>

=== توزيع بواسون مجاني ===
توزيع بواسون المجاني <ref>Free Random Variables by D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, CRM Monograph Series, American Mathematical Society, Providence RI, 1992</ref> بحجم قفزة <math>\alpha</math> ومعدل <math>\lambda</math> ينشأ في نظرية [[الاحتمال الحر|الاحتمالات الحرة]] كحد أقصى [[الالتواء الحر|للالتفاف الحر]] المتكرر

<math>
\left( \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)\delta_0 + \frac{\lambda}{N}\delta_\alpha\right)^{\boxplus N}</math>

مثل ''N.''&nbsp;→&nbsp;∞.

وبعبارة أخرى، دعونا <math>X_N</math> تكون متغيرات عشوائية بحيث <math>X_N</math> له قيمة <math>\alpha</math> مع الاحتمال <math>\frac{\lambda}{N}</math> والقيمة 0 مع الاحتمال المتبقي. افترض أيضا أن الأسرة <math>X_1,X_2,\ldots</math> [[الاستقلال الحر|مستقلة بحرية]]. ثم الحد كما <math>N\to\infty</math> من قانون <math>X_1+\cdots +X_N</math> يتم تقديمها بموجب قانون بواسون الحر مع المعلمات <math>\lambda,\alpha</math> .

هذا التعريف مشابه لإحدى الطرق التي يتم بها الحصول على توزيع بواسون الكلاسيكي من عملية بواسون (كلاسيكية).

يتم إعطاء التدبير المرتبط بقانون بواسون المجاني بواسطة <ref>James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.</ref>

<math>\mu=\begin{cases} (1-\lambda) \delta_0 + \lambda \nu,& \text{if } 0\leq \lambda \leq 1 \\
\nu, & \text{if }\lambda >1,
\end{cases}
</math>

عندما

<math>\nu = \frac{1}{2\pi\alpha t}\sqrt{4\lambda \alpha^2 - ( t - \alpha (1+\lambda))^2} \, dt</math>

ولديه دعم <math>[\alpha (1-\sqrt{\lambda})^2,\alpha (1+\sqrt{\lambda})^2]</math> .

ينشأ هذا القانون أيضًا في نظرية [[تجمع مصفوفة غاوسية|المصفوفة العشوائية]] مثل قانون [[مارشينكو - قانون باستور|مارشينكو - باستور]]. [[تراكم مجاني|المتراكمات الحرة]] لها تساوي <math>\kappa_n=\lambda\alpha^n</math> .

==== بعض التحولات في هذا القانون ====
نعطي قيمًا لبعض التحولات المهمة لقانون بواسون الحر؛ يمكن العثور على الحساب في، على سبيل المثال، في كتاب «محاضرتان حول توافقيات الاحتمالية الحرة بواسطة أ. نيكا ور. سبايشر».<ref>Lectures on the Combinatorics of Free Probability by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006</ref>

يتم إعطاء [[R- تحويل|تحويل R]] لقانون بواسون المجاني بواسطة

<math>R(z)=\frac{\lambda \alpha}{1-\alpha z}. </math>

يتم إعطاء [[تحويل كوشي]] (وهو سلبي [[Stieltjes التحول|لتحويل ستيلجس]]) بواسطة

<math>
G(z) = \frac{ z + \alpha - \lambda \alpha - \sqrt{ (z-\alpha (1+\lambda))^2 - 4 \lambda \alpha^2}}{2\alpha z}
</math>

يتم إعطاء [[S- تحويل|تحويل S]] بواسطة

<math>
S(z) = \frac{1}{z+\lambda}
</math>

في الحالة تلك <math>\alpha=1</math> .

== الاستدلال الإحصائي ==

=== تقدير المعامل المتغير ===
إعطاء عينة من القيم المقاسة ''n'' <math> k_i \in \{0,1,...\}</math>، ''لأني''&nbsp;=&nbsp;1،&nbsp;...&nbsp;''ن''، نرغب في تقدير قيمة المعلمة ''λ'' لمجتمع بواسون الذي تم سحب العينة منه. تقدير [[تقدير حسب القيمة العليا لدالة الإمكان|الاحتمالية القصوى]] هو <ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://cnx.org/content/m13500/latest/?collection=col10343/latest
| عنوان = Maximum Likelihood Estimation – Examples
| الأخير = Paszek
| الأول = Ewa
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20140517122303/http://cnx.org/content/m13500/latest/?collection=col10343/latest
|تاريخ أرشيف=2014-05-17}}</ref>

<math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!</math>

نظرًا لأن كل ملاحظة لها توقع λ فهل تعني العينة. لذلك، فإن تقدير الاحتمالية القصوى هو [[تحيز المقدر|مقدر غير متحيز]] لـ λ. وهو أيضًا مقدر فعال نظرًا لأن تباينه يحقق الحد [[الحد الأدنى كرامر - راو|الأدنى]] كرامر - راو (CRLB).  ومن ثم فإن [[الحد الأدنى للتباين غير المتحيز مقدر|التباين الأدنى غير متحيز]]. كما يمكن إثبات أن المجموع (ومن ثم متوسط العينة لأنه دالة فردية للمبلغ) هو إحصائية كاملة وكافية لـ λ.

لإثبات الكفاية، قد نستخدم [[إحصائية كافية|نظرية العوامل]]. ضع في اعتبارك تقسيم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون المشترك للعينة إلى جزأين: جزء يعتمد فقط على العينة <math>\mathbf{x}</math> (مسمى <math>h(\mathbf{x})</math>) وواحد يعتمد على المعلمة <math>\lambda</math> والعينة <math>\mathbf{x}</math> فقط من خلال الوظيفة <math>T(\mathbf{x})</math> . ثم <math>T(\mathbf{x})</math> إحصائية كافية لـ <math>\lambda</math> .

<math> P(\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!}=\frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i!} \times \lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}e^{-n\lambda} </math>

الفصل الأول، <math>h(\mathbf{x})</math>، يعتمد فقط على <math>\mathbf{x}</math> . الفصل الثاني، <math>g(T(\mathbf{x})|\lambda)</math>، يعتمد على العينة فقط من خلال <math>T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^nx_i</math> . هكذا، <math>T(\mathbf{x})</math> كافي.

للعثور على المعلمة λ التي تزيد من دالة الاحتمال لسكان بواسون، يمكننا استخدام لوغاريتم دالة الاحتمال:

<math> \begin{align} \ell(\lambda) & = \ln \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \\ & = \sum_{i=1}^n \ln\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \\ & = -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(k_i!). \end{align} </math>

نأخذ مشتق من ''<math>\ell</math>'' فيما يتعلق ''λ'' وذلك لمقارنة الصفر:

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \ell(\lambda) = 0 \iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0. \!</math>

الحل من أجل ''λ'' يعطي نقطة ثابتة.

<math> \lambda = \frac{\sum_{i=1}^n k_i}{n}</math>

إذن ''λ'' هو متوسط قيم ''k'' <sub>''i''</sub> . الحصول على علامة المشتق الثاني لـ ''L'' عند النقطة الثابتة سيحدد نوع القيمة القصوى ''λ'' .

<math>\frac{\partial^2 \ell}{\partial \lambda^2} = -\lambda^{-2}\sum_{i=1}^n k_i </math>

يعطي تقييم المشتق الثاني ''عند النقطة الثابتة'' :

<math>\frac{\partial^2 \ell}{\partial \lambda^2} = - \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n k_i} </math>

وهو سالب ''n'' في مقلوب متوسط k <sub>i</sub> . هذا التعبير سالب عندما يكون المتوسط موجبًا. إذا تم استيفاء ذلك، فإن النقطة الثابتة تزيد من دالة الاحتمال.

من أجل [[اكتمال (إحصائيات)|الاكتمال]]، يُقال أن عائلة التوزيعات كاملة إذا وفقط إذا <math> E(g(T)) = 0</math> يعني ذلك <math>P_\lambda(g(T) = 0) = 1</math> للجميع <math>\lambda</math> . إذا كان الفرد <math>X_i</math> هي iid <math>\mathrm{Po}(\lambda)</math>، من ثم <math>T(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathrm{Po}(n\lambda)</math> . من خلال معرفة التوزيع الذي نريد التحقيق فيه، من السهل أن نرى اكتمال الإحصاء.

<math>E(g(T))=\sum_{t=0}^\infty g(t)\frac{(n\lambda)^te^{-n\lambda}}{t!}=0</math>

من أجل هذه المساواة، <math>g(t)</math> يجب أن يكون 0. هذا يأتي من حقيقة أنه لن يكون أي من المصطلحات الأخرى صفرًا للجميع <math>t</math> في المجموع ولجميع القيم الممكنة لـ <math>\lambda</math> . لذلك، <math> E(g(T)) = 0</math> للجميع <math>\lambda</math> يعني ذلك <math>P_\lambda(g(T) = 0) = 1</math>، وقد ثبت أن الإحصاء مكتمل.

=== فاصل الثقة ===
يمكن التعبير عن [[مجال ثقة|فاصل الثقة]] لمتوسط توزيع بواسون باستخدام العلاقة بين وظائف التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون [[توزيع خي تربيع (توزيع مربع كاي)|وكي تربيع]]. يرتبط توزيع مربع كاي ارتباطًا وثيقًا [[توزيع غاما|بتوزيع جاما]]، وهذا يؤدي إلى تعبير بديل. بالنظر إلى الملاحظة ''k'' من توزيع بواسون بمتوسط ''μ''، فإن فاصل الثقة لـ ''μ'' بمستوى الثقة {{تعبير رياضي|1 – α}} هو

<math>\tfrac 12\chi^{2}(\alpha/2; 2k) \le \mu \le \tfrac 12 \chi^{2}(1-\alpha/2; 2k+2), </math>

أو مكافئ،

: <math>F^{-1}(\alpha/2; k,1) \le \mu \le F^{-1}(1-\alpha/2; k+1,1),</math>

أين <math>\chi^{2}(p;n)</math> هي [[دالة الكمية|الدالة الكمية]] (المقابلة لمنطقة الذيل السفلية ''p'') لتوزيع مربع كاي مع ''n'' من درجات الحرية و <math>F^{-1}(p;n,1)</math> هي دالة كميّة [[توزيع غاما|لتوزيع جاما]] بمعامل الشكل n ومعلمة المقياس 1. {{استشهاد متعدد|Johnson2005|Garwood1936}} هذا الفاصل الزمني «[[إحصائيات دقيقة|دقيق]]» بمعنى أن [[احتمالية التغطية|احتمالية تغطيتها]] لا تقل أبدًا عن {{تعبير رياضي|1 – α}} الاسمي.

عندما لا تتوفر كميات توزيع جاما، تم اقتراح تقريب دقيق لهذه الفترة الزمنية الدقيقة (بناءً على تحويل [[توزيع خي تربيع (توزيع مربع كاي)|ويلسون-هيلفيرتي]]): {{استشهاد متعدد|Breslow1987}}

<math>k \left( 1 - \frac{1}{9k} - \frac{z_{\alpha/2}}{3\sqrt{k}}\right)^3 \le \mu \le (k+1) \left( 1 - \frac{1}{9(k+1)} + \frac{z_{\alpha/2}}{3\sqrt{k+1}}\right)^3, </math>

عندما <math>z_{\alpha/2}</math> يشير إلى [[الانحراف القياسي العادي]] مع منطقة الذيل العليا {{تعبير رياضي|α / 2}} .

لتطبيق هذه الصيغ في نفس السياق على النحو الوارد أعلاه (بالنظر إلى عينة من القيم المقاسة ''n'' ''k'' <sub>''i''</sub> مستمدة من توزيع بواسون بمتوسط ''λ'')، يجب تعيين

<math>k=\sum_{i=1}^n k_i ,\!</math>

احسب الفاصل الزمني لـ ''μ''&nbsp;=&nbsp;''nλ''، ثم قم باشتقاق الفترة الزمنية لـ ''λ'' .

=== استدلال بايزي ===
في [[استدلال بايزي|الاستدلال البايزي]]، يكون الاتحاد [[اقتران قبل|السابق]] لمعامل المعدل ''λ'' لتوزيع بواسون هو [[توزيع غاما|توزيع جاما]]. {{استشهاد متعدد|Fink1976}} اسمحوا

<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta) \!</math>

تشير إلى أن ''λ'' يتم توزيعها وفقًا [[دالة الكثافة الاحتمالية|لكثافة]] جاما ''g المحددة'' من حيث [[معالم شكل التوزيع|معلمة الشكل]] ''α'' [[مقياس المعلمة|ومعلمة المقياس]] العكسي ''β'' :

<math> g(\lambda \mid \alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \; \lambda^{\alpha-1} \; e^{-\beta\,\lambda} \qquad \text{ for } \lambda>0 \,\!.</math>

بعد ذلك، بالنظر إلى نفس العينة من قيم ''n'' المقاسة ''k'' <sub>''i''</sub> كما كان من قبل، وقبل غاما (''α''، ''β'')، يكون التوزيع اللاحق

<math>\lambda \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha + \sum_{i=1}^n k_i, \beta + n\right). \!</math>

والخلفي يعني E ''[λ]'' يقترب تقدير أقصى احتمال <math>\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}</math> في حدود <math>\alpha\to 0,\ \beta\to 0</math>، والتي تتبع مباشرة من التعبير العام لمتوسط [[توزيع غاما|توزيع جاما]].

[[التوزيع التنبئي الخلفي|التوزيع التنبئي اللاحق]] لملاحظة إضافية واحدة هو [[التوزيع السالب ذو الحدين|توزيع سالب ذي الحدين]]، {{استشهاد متعدد|Gelman2003}} يُسمى أحيانًا توزيع غاما-بواسون.

=== التقدير المتزامن لوسائل بواسون المتعددة ===
افترض <math>X_1, X_2, \dots, X_p</math> هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة من مجموعة من <math>p</math> توزيعات بواسون، ولكل منها معلمة <math>\lambda_i</math> و <math>i=1,\dots,p</math>، ونود تقدير هذه المعلمات. بعد ذلك، أظهر Clevenson و Zidek أنه في ظل خسارة الخطأ التربيعية الطبيعية <math>L(\lambda,{\hat \lambda})=\sum_{i=1}^p \lambda_i^{-1} ({\hat \lambda}_i-\lambda_i)^2</math>، متي <math>p>1</math>، إذن، على غرار مثال [[مثال شتاين|شتاين]] للوسائل العادية، مقدر MLE <math>{\hat \lambda}_i = X_i</math> غير [[قاعدة القرار المقبول|مقبول]].{{استشهاد متعدد|Clevenson1975}}

في هذه الحالة، يتم إعطاء عائلة من [[مقدر مينيماكس]] لأي <math>0 < c \leq 2(p-1)</math> و <math>b \geq (p-2+p^{-1})</math> كـ {{استشهاد متعدد|Berger1985}}

<math>{\hat \lambda}_i = \left(1 - \frac{c}{b + \sum_{i=1}^p X_i}\right) X_i, \qquad i=1,\dots,p.</math>

== الحدوث والتطبيقات ==
يمكن العثور على تطبيقات توزيع بواسون في العديد من المجالات بما في ذلك: {{استشهاد متعدد|Rasch1963}}

* مثال عن [[اتصال عن بعد|الاتصالات]]: وصول المكالمات الهاتفية إلى النظام.
* مثال في [[علم الفلك]]: وصول الفوتونات إلى التلسكوب.
* مثال في [[كيمياء|الكيمياء]]: [[توزيع الكتلة المولية]] [[البلمرة الحية|لبلمرة حية]]. {{استشهاد متعدد|Flory1940}}
* مثال في [[علم الأحياء]]: عدد الطفرات على خيط من [[حمض نووي ريبوزي منقوص الأكسجين|الحمض النووي]] لكل وحدة طول.
* مثال [[إدارة|إداري]]: وصول العملاء إلى العداد أو مركز الاتصال.
* مثال على [[خدمات مالية|التمويل والتأمين]]: عدد الخسائر أو المطالبات التي تحدث في فترة زمنية معينة.
* مثال على [[علم الزلازل|علم الزلازل الزلزالية]]: نموذج بواسون مقارب للمخاطر الزلزالية للزلازل الكبيرة. {{استشهاد متعدد|Lomnitz1994}}
* مثال على [[اضمحلال نشاط إشعاعي|النشاط الإشعاعي]]: عدد حالات التحلل في فترة زمنية معينة في عينة مشعة.
* مثال [[بصريات|البصريات]]: عدد الفوتونات المنبعثة في نبضة ليزر واحدة. هذه ثغرة أمنية كبيرة لمعظم بروتوكولات [[تعمية كمومية|توزيع المفاتيح الكمية]] المعروفة باسم تقسيم رقم الفوتون (PNS).

ينشأ توزيع بواسون فيما يتعلق بعمليات بواسون. ينطبق على ظواهر مختلفة من الخصائص المنفصلة (أي تلك التي قد تحدث 0، 1، 2، 3... مرات خلال فترة زمنية معينة أو في منطقة معينة) كلما كان احتمال حدوث الظاهرة ثابتًا في الزمان أو [[مكان (فيزياء)|المكان]]. تتضمن أمثلة الأحداث التي يمكن نمذجتها كتوزيع بواسون ما يلي:

* عدد الجنود الذين قتلوا بركلات الخيول كل عام في كل سلاح في سلاح الفرسان [[بروسيا|البروسي]]. تم استخدام هذا المثال في كتاب من تأليف [[لاديسلاوس بورتكيفيتش]] (1868–1931). {{استشهاد متعدد|vonBortkiewitsch1898}}
* عدد خلايا الخميرة المستخدمة عند تخمير بيرة [[غينيس (جعة)|غينيس]]. استخدم هذا المثال [[وليام سيلي جوسيت|ويليام سيلي جوسيت]] (1876-1937). {{استشهاد متعدد|Student1907}} {{استشهاد متعدد|Boland1984}}
* عدد المكالمات الهاتفية التي تصل إلى [[مركز اتصالات|مركز الاتصال]] خلال دقيقة. تم وصف هذا المثال من قبل [[أغنر كراروب إرلانغ|AK Erlang]] (1878-1929). {{استشهاد متعدد|Erlang1909}}
* حركة المرور على الإنترنت.
* عدد الأهداف في الألعاب الرياضية التي يشارك فيها فريقان متنافسان. {{استشهاد متعدد|Hornby2014}}
* عدد الوفيات في السنة في فئة عمرية معينة.
* عدد القفزات في سعر السهم في فترة زمنية معينة.
* في ظل افتراض [[عملية بواسون|التجانس]]، عدد المرات التي يتم فيها الوصول إلى [[خادم ويب|خادم الويب]] في الدقيقة.
* عدد [[طفرة (أحياء)|الطفرات]] في امتداد معين من [[حمض نووي ريبوزي منقوص الأكسجين|الحمض النووي]] بعد كمية معينة من الإشعاع.
* نسبة [[خلية|الخلايا]] التي من شأنها أن تكون مصابة في معين [[تعدد العدوى|وافر من العدوى]].
* عدد البكتيريا في كمية معينة من السائل. {{استشهاد متعدد|Koyama2016}}
* وصول [[فوتون|الفوتونات]] على دائرة البكسل عند إضاءة معينة وخلال فترة زمنية معينة.
* تم التحقيق في استهداف [[في-1|القنابل الطائرة V-1]] على لندن أثناء الحرب العالمية الثانية بواسطة آر دي كلارك عام 1946. {{استشهاد متعدد|Clarke1946}}

أظهر [[باتريك العاشر غالاغر|غالاغر]] في عام 1976 أن أعداد [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] في فترات زمنية قصيرة تخضع لتوزيع بواسون {{استشهاد متعدد|Gallagher1976}} قدمت نسخة معينة من [[تخمين هاردي-ليتلوود الثاني|تخمين مجموعة هاردي-ليتلوود الأولية]] غير [[تخمين هاردي-ليتلوود الثاني|المثبتة لهاردي ليتلوود]] {{استشهاد متعدد|Hardy1923}} صحيح.

=== قانون الأحداث النادرة ===
[[ملف:Binomial_versus_poisson.svg|تصغير|330px|يسار|مقارنة توزيع بواسون (الخطوط السوداء) [[توزيع ثنائي الحدين|والتوزيع ذي الحدين]] مع ''n''&nbsp;=&nbsp;10 (دوائر حمراء)، ''n''&nbsp;=&nbsp;20 (دوائر زرقاء)، ''n''&nbsp;=&nbsp;1000 (دوائر خضراء). جميع التوزيعات لها متوسط&nbsp;5. يُظهر المحور الأفقي عدد الأحداث&nbsp;''ك'' . مع زيادة حجم ''n''، يصبح توزيع بواسون تقريبًا أفضل بشكل متزايد للتوزيع ذي الحدين بنفس المتوسط.]]
يرتبط معدل الحدث باحتمالية وقوع حدث في فترة فرعية صغيرة (من الوقت أو المكان أو غير ذلك). في حالة توزيع بواسون، يفترض المرء أن هناك فترة فرعية صغيرة بما فيه الكفاية بحيث يكون احتمال وقوع حدث مرتين «ضئيلاً». مع هذا الافتراض، يمكن للمرء اشتقاق توزيع بواسون من التوزيع ذي الحدين، مع الأخذ في الاعتبار فقط معلومات العدد المتوقع من الأحداث الإجمالية في الفترة الزمنية بأكملها. دع هذا العدد الإجمالي يكون <math>\lambda</math> . قسّم الفترة الزمنية بأكملها إلى <math>n</math> فترات فرعية <math>I_1,\dots,I_n</math> من نفس الحجم، مثل هذا <math>n</math> > <math>\lambda</math> (نظرًا لأننا مهتمون فقط بأجزاء صغيرة جدًا من الفاصل الزمني، فإن هذا الافتراض مفيد). هذا يعني أن العدد المتوقع للأحداث في فترة <math>I_i</math> لكل <math>i</math> يساوي <math>\lambda/n</math> . نفترض الآن أن حدوث حدث في الفترة الزمنية بأكملها يمكن اعتباره [[محاكمة برنولي|تجربة برنولي]]، حيث <math>i^{th}</math> محاكمة تقابل النظر فيما إذا كان حدث ما يحدث في الفترات الفرعية <math>I_i</math> مع الاحتمال <math>\lambda/n</math> . العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في <math>n</math> ستكون مثل هذه المحاكمات <math>\lambda</math>، العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في الفترة الزمنية بأكملها. ومن ثم، بالنسبة لكل قسم فرعي من الفترة الزمنية، فقد اقتربنا من حدوث الحدث كعملية برنولي للنموذج <math>\textrm{B}(n,\lambda/n)</math> . كما لاحظنا من قبل، نريد أن ننظر فقط في فترات فرعية صغيرة جدًا. لذلك، نأخذ النهاية على أنها <math>n</math> يذهب إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، يتقارب التوزيع ذي الحدين مع ما يُعرف باسم توزيع بواسون بواسطة [[نظرية حدود بواسون]].

في العديد من الأمثلة المذكورة أعلاه - مثل عدد الطفرات في تسلسل معين من الحمض النووي - الأحداث التي يتم عدها هي في الواقع نتائج تجارب منفصلة، وستكون أكثر دقة في نمذجة باستخدام [[توزيع ثنائي الحدين|التوزيع ذي الحدين]]، أي

: <math>X \sim \textrm{B}(n,p). \,</math>

في مثل هذه الحالات، يكون ''n'' كبيرًا جدًا و ''p'' صغيرًا جدًا (وبالتالي فإن التوقع ''np'' متوسط الحجم). ثم يمكن تقريب التوزيع عن طريق توزيع بواسون الأقل تعقيدًا

<math>X \sim \textrm{Pois}(np). \,</math>

هذا التقريب والتي تعرف أحيانا باسم ''قانون الأحداث النادرة،'' {{استشهاد متعدد|Cameron1998}} لأن كل من ''ن'' الفردية [[توزيع برنولي|الأحداث برنولي]] نادرا ما يحدث. قد يكون الاسم مضللًا لأن العدد الإجمالي لأحداث النجاح في عملية بواسون لا يلزم أن يكون نادرًا إذا لم تكن المعلمة ''np'' صغيرة. على سبيل المثال، عدد المكالمات الهاتفية إلى لوحة مفاتيح مزدحمة في ساعة واحدة يتبع توزيع بواسون مع ظهور الأحداث بشكل متكرر للمشغل، لكنها نادرة من وجهة نظر الفرد العادي من السكان الذين من غير المرجح أن يقوموا بذلك. مكالمة إلى لوحة التبديل تلك في تلك الساعة.

تُستخدم كلمة ''قانون'' أحيانًا كمرادف [[توزيع احتمال|لتوزيع الاحتمالات]]، ''والتقارب في القانون'' يعني ''التقارب في التوزيع'' . وفقًا لذلك، يُطلق على توزيع بواسون أحيانًا «قانون الأعداد الصغيرة» لأنه التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات حدث نادر الحدوث ولكن توجد فرص كثيرة جدًا لحدوثه. ''قانون أرقام صغير'' هو كتاب لادسلاو بورتكيفيز حول توزيع بواسون، التي نشرت في عام 1898. {{استشهاد متعدد|vonBortkiewitsch1898}} {{استشهاد متعدد|Edgeworth1913}}

<br/>
=== علاقته بتوزيع الاحتمالات الطبيعي ===
[[ملف:Poisson normal approxiamtion.svg|تصغير|احتمالات بواسون لـ λ&nbsp;=&nbsp;30 فما أكثر تقترب من توزيع احتمالي طبيعي .]]
توزيع بواسون <math>P_{\lambda}</math> يبدي منحنى غير متماثل لقيم صغيرة لـ <math>\lambda</math> . وعندما تكون <math>\lambda</math> عددا كبيرا <math>\lambda=30</math> فإن منحنى بواسون <math>P_{\lambda}</math> سيؤول إلى [[توزيع احتمالي طبيعي]] mit <math>\mu=\lambda</math> und <math>\sigma^2=\lambda</math>:

:<math>P_{\lambda}(k) \approx \frac {1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right).</math>

=== عملية نقطة بواسون ===
ينشأ توزيع بواسون بعدد نقاط [[عملية بواسون|عملية نقطة بواسون]] الموجودة في منطقة محدودة. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت ''D'' عبارة عن مساحة منطقة ما، على سبيل المثال، الفضاء الإقليدي '''R''' <sup>''d''</sup>، الذي | ''D'' |، المساحة، الحجم، أو بشكل عام، مقياس ليبيسج للمنطقة محدود، وإذا كان {{بدون لف|''N''(''D'')}} يشير إلى عدد النقاط في ''D''، إذن

<math> P(N(D)=k)=\frac{(\lambda|D|)^k e^{-\lambda|D|}}{k!} .</math>

=== انحدار بواسون والانحدار السلبي ذي الحدين ===
[[انحدار بواسون|يعد انحدار بواسون والانحدار]] السالب ذي الحدين مفيدًا للتحليلات حيث يكون المتغير التابع (الاستجابة) هو العدد (0،&nbsp;1،&nbsp;2،&nbsp;...) لعدد الأحداث أو التكرارات في فترة.

=== تطبيقات أخرى في العلوم ===
في عملية بواسون، يتقلب عدد الأحداث المرصودة حول ''متوسطها λ'' مع [[انحراف معياري|الانحراف المعياري]] <math>\sigma_k =\sqrt{\lambda}</math> . يشار إلى هذه التقلبات على أنها ''ضوضاء بواسون'' أو (خاصة في الإلكترونيات) ''[[الضوضاء النار|كضوضاء لقطة.]]''

يعتبر ارتباط المتوسط والانحراف المعياري في حساب الأحداث المنفصلة المستقلة مفيدًا علميًا. من خلال مراقبة كيفية اختلاف التقلبات مع الإشارة المتوسطة، يمكن للمرء تقدير مساهمة حدوث واحد، ''حتى لو كانت هذه المساهمة صغيرة جدًا بحيث لا يمكن اكتشافها مباشرة'' . على سبيل المثال، يمكن تقدير الشحنة ''الإلكترونية'' على الإلكترون من خلال ربط حجم [[تيار كهربائي|التيار الكهربائي]] [[الضوضاء النار|بضوضاء اللقطة]]. إذا ''مرت'' إلكترونات ''N'' نقطة في وقت معين ''t'' في المتوسط، يكون [[متوسط (إحصاء)|متوسط]] [[تيار كهربائي|التيار]] <math>I=eN/t</math> ؛ لأن التقلبات الحالية يجب أن تكون بالترتيب <math>\sigma_I=e\sqrt{N}/t</math> (أي الانحراف المعياري [[عملية بواسون|لعملية بواسون]])، الشحنة <math>e</math> يمكن تقديرها من النسبة <math>t\sigma_I^2/I</math> .

المثال اليومي هو التحبب الذي يظهر عند تكبير الصور ؛ يعود سبب التحبب إلى تقلبات بواسون في عدد حبيبات [[فضة|الفضة]] المنخفضة، وليس إلى الحبوب الفردية نفسها. من خلال [[ارتباط (إحصاء)|ربط]] التحبب بدرجة التوسيع، يمكن للمرء تقدير مساهمة حبة فردية (والتي تكون صغيرة جدًا بحيث لا يمكن رؤيتها بدون مساعدة).  تم تطوير العديد من التطبيقات الجزيئية الأخرى لضوضاء بواسون، على سبيل المثال، تقدير كثافة عدد جزيئات [[مستقبل (كيمياء حيوية)|المستقبل]] في [[غشاء خلوي|غشاء الخلية]].

<math>
  \Pr(N_t=k) = f(k;\lambda t) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}.</math>

في نظرية [[مجموعة السببية|المجموعة السببية،]] تتبع العناصر المنفصلة للزمكان توزيع بواسون في الحجم.

== الأساليب الحسابية ==
يطرح توزيع بواسون مهمتين مختلفتين لمكتبات البرامج المخصصة: ''تقييم'' التوزيع <math>P(k;\lambda)</math>، ''ورسم أرقام عشوائية'' حسب هذا التوزيع.

=== تقييم توزيع بواسون ===
الحوسبة <math>P(k;\lambda)</math> على سبيل المعطى <math>k</math> و <math>\lambda</math> هي مهمة تافهة يمكن إنجازها باستخدام التعريف القياسي لـ <math>P(k;\lambda)</math> من حيث الدوال الأسية والقوة والعاملة. ومع ذلك، فإن التعريف التقليدي لتوزيع بواسون يحتوي على مصطلحين يمكن أن يفيضان بسهولة على أجهزة الكمبيوتر: λ <sup>''k''</sup> و ''k'' ! . الجزء من λ <sup>''k''</sup> إلى ''k'' ! يمكن أن ينتج عنه خطأ تقريب كبير جدًا مقارنة بـ ''e'' <sup>−λ</sup>، وبالتالي يعطي نتيجة خاطئة. من أجل الاستقرار العددي، يجب تقييم دالة كتلة احتمالية بواسون على أنها

<math>\!f(k; \lambda)= \exp \left[ k\ln \lambda - \lambda - \ln \Gamma (k+1) \right],</math>

وهو مكافئ رياضيًا ولكنه مستقر عدديًا. يمكن الحصول على اللوغاريتم الطبيعي لوظيفة [[دالة غاما|جاما]] باستخدام وظيفة <code>lgamma</code> في مكتبة [[سي (لغة برمجة)|C]] القياسية (إصدار C99) أو [[آر (لغة برمجة)|R]]، أو دالة <code>gammaln</code> في [[ماتلاب]] أو [[سي باي]]، أو دالة <code>log_gamma</code> في [[فورتران]] 2008 وما بعده.

توفر بعض لغات الحوسبة وظائف مدمجة لتقييم توزيع بواسون، وهي

* [[آر (لغة برمجة)|آر لغة برمجة]]: وظيفة <code>dpois(x, lambda)</code> ؛
* [[مايكروسوفت إكسل]]: دالة <code>بواسون (x, mean, cumulative)</code>، مع علامة لتحديد التوزيع التراكمي ؛
* [[ولفرام ماثماتيكا|ماثماتيكا]]: توزيع بواسون أحادي المتغير كـ <code>بواسونDistribution[ <math>\lambda</math> ]</code>، <ref name="WLPoissonRefPage">{{استشهاد بويب
| مسار = http://reference.wolfram.com/language/ref/PoissonDistribution.html
| عنوان = Wolfram Language: PoissonDistribution reference page
| موقع = wolfram.com
| تاريخ الوصول = 2016-04-08
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20201025031739/https://reference.wolfram.com/language/ref/PoissonDistribution.html
|تاريخ أرشيف=2020-10-25}}</ref> توزيع بواسون ثنائي المتغير كـ <code>MultivariateبواسونDistribution[ <math>\theta_{12}</math> ,{ <math>\theta_1 - \theta_{12}</math>, <math>\theta_2 - \theta_{12}</math> }]</code>.<ref name="WLMvPoissonRefPage">{{استشهاد بويب
| مسار = http://reference.wolfram.com/language/ref/MultivariatePoissonDistribution.html
| عنوان = Wolfram Language: MultivariatePoissonDistribution reference page
| موقع = wolfram.com
| تاريخ الوصول = 2016-04-08
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200808180617/https://reference.wolfram.com/language/ref/MultivariatePoissonDistribution.html
|تاريخ أرشيف=2020-08-08}}</ref>

=== الرسم العشوائي من توزيع بواسون ===
المهمة الأقل أهمية هي استخلاص أعداد صحيحة عشوائية من توزيع بواسون مع المعطى <math>\lambda</math> .

يتم توفير الحلول من خلال:

* [[آر (لغة برمجة)|آر]]: وظيفة <code>rpois(n, lambda)</code> ؛
* [[مكتبة جنو العلمية]] (GSL): الوظيفة [https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/randist.html#the-poisson-distribution gsl_ran_بواسون]

=== توليد المتغيرات العشوائية الموزعة بواسون ===
[[دونالد كينوث|دونالد كانوث]] خوارزمية بسيطة لتوليد أرقام عشوائية موزعة بواسون ([[أخذ عينات الأرقام العشوائية الزائفة|أخذ عينات أرقام عشوائية زائفة]]): {{استشهاد متعدد|Knuth1997}}<syntaxhighlight lang="logos">
algorithm poisson random number (Knuth):
   init:
     Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1. 
   do: 
     k ← k + 1. 
     Generate uniform random number u in 
[0,1] and let p ← p × u.
  while p > L.
  return k − 1.
</syntaxhighlight>التعقيد خطي في القيمة المرجعة ''k''، والتي تكون في المتوسط. هناك العديد من الخوارزميات الأخرى لتحسين هذا. يتم إعطاء بعضها في آرينز & ديتر، انظر {{وصلة قسم||مراجع}} أدناه.

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ λ، قد تكون قيمة L = ''e'' <sup>−λ</sup> صغيرة جدًا بحيث يصعب تمثيلها. يمكن حل هذا عن طريق تغيير الخوارزمية التي تستخدم معلمة إضافية STEP بحيث لا <sup>تتدفق</sup> ''e'' <sup>−STEP</sup> : <syntaxhighlight lang="logos">
algorithm poisson random number (Junhao, 
based on Knuth):
   init: 
     Let λLeft ← λ, k ← 0 and p ← 1.
   do:
     k ← k + 1. 
     Generate uniform random number u in 
(0,1) and let p ← p × u.
     while p < 1 and λLeft > 0: 
        if λLeft > STEP:
           p ← p × eSTEP 
           λLeft ← λLeft − STEP 
        else:
           p ← p × eλLeft 
           λLeft ← 0 
   while p > 1. 
   return k − 1.
</syntaxhighlight>يعتمد اختيار STEP على عتبة الفائض. بالنسبة لصيغة النقطة العائمة ذات الدقة المزدوجة، تكون العتبة قريبة من <sup>700</sup> ''e''، لذا يجب أن تكون 500 ''خطوة'' آمنة.

تشمل الحلول الأخرى للقيم الكبيرة لـ [[أخذ عينات الرفض|أخذ عينات رفض]] واستخدام تقريب غاوسي.

[[أخذ عينات التحويل العكسي|معكوس تحويل أخذ العينات]] هي بسيطة وفعالة للقيم صغيرة من λ، وتتطلب رقم عشوائي موحد واحد فقط لكل عينة ''U.'' يتم فحص الاحتمالات التراكمية بدورها حتى يتجاوز المرء U.{{استشهاد متعدد|Devroye1986}}<syntaxhighlight lang="logos">
algorithm Poisson generator based upon 
the inversion by sequential 
search::505 
   init:
     Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p. 
     Generate uniform random number u in 
[0,1]. 
   while u > s do:
     x ← x + 1.
     p ← p × λ / x. 
     s ← s + p.
   return x.
</syntaxhighlight>

== تاريخ ==
[[سيميون بواسون]] (1781-1840) ونشر مع نظريته الاحتمالية في عمله ''البحث في احتمالية الأحكام في المسائل الجنائية والمدنية'' (1837). {{استشهاد متعدد|Poisson1837}} عمل نظري حول عدد القناعات الخاطئة في بلد معين من خلال التركيز على [[متغير عشوائي|متغيرات عشوائية]] معينة ''N'' التي تحسب، من بين أمور أخرى، عدد الأحداث المنفصلة (تسمى أحيانًا «الأحداث» أو «الوافدون») التي تحدث خلال فترة [[زمن]]ية بطول معين. تم إعطاء النتيجة بالفعل في 1711 من قبل [[أبراهام دي موافر|أبراهام دي]] ''موفر'' ف يقياس الشرط سواء كان احتمال النجاح في بعض الألعاب معلقًا بشكل عرضي. {{استشهاد متعدد|deMoivre1711}} {{استشهاد متعدد|deMoivre1718}} {{استشهاد متعدد|deMoivre1721}} {{استشهاد متعدد|Johnson2005}} هذا يجعله مثالًا [[قانون ستيجلر|على قانون ستيجلر]] وقد دفع بعض المؤلفين إلى القول بأن توزيع بواسون يجب أن يحمل اسم دي مويفر. {{استشهاد متعدد|Stigler1982|Hald1984}}

في عام 1860، قام [[سيمون نيوكومب]] بتكييف توزيع بواسون مع عدد النجوم الموجودة في وحدة الفضاء. {{استشهاد متعدد|Newcomb1860}} تم تطبيق عملي آخر لهذا التوزيع بواسطة لاديسلاوس بورتكيفيتش في عام 1898 عندما تم تكليفه بمهمة التحقيق في عدد الجنود في الجيش البروسي الذين قتلوا عرضًا بركلات الحصان. {{استشهاد متعدد|vonBortkiewitsch1898}} أدخلت هذه التجربة توزيع بواسون في مجال [[هندسة الوثوقية|هندسة الموثوقية]].

== تلخيص التوزيع ==
المتغير العشوائي X يتبع توزيع بوسون بمعلمه λ إذا كانت دالته الاحتمالية هي:
::<math> f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!};  x=0,1,...</math>

حيث أن <math>0<\lambda<\infty</math> هي معلمة التوزيع الوحيدة بمقدار ثابت، ونعرف المتغير العشوائي <math>X\backsim{Poi(\lambda)}</math>

ولكي نتحقق أن (f(x [[دالة]] احتمالية

:<math>f(x)=\sum^{\infty}_{x=0} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0} \frac{\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1</math>

=== المنوال ===

::<math> \frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{e^{-\lambda}{\lambda^(x+1)}}{(x+1)!} \frac{x!}{e^{-\lambda}{\lambda^x}}=\frac{\lambda}{X+1}</math>

إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت <math>X<\lambda-1</math> وأنها متناقصة إذا كانت <math>X>\lambda-1</math> أما إذا كانت <math>X=\lambda-1</math> فذلك يعني <math>f(\lambda)=f(\lambda-1)</math> وعلى ذلك إذا كانت <math>\lambda-1</math> عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند <math>X=\lambda, X=\lambda-1 </math> أما إذا كانت <math>\lambda-1</math> عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد <math>\lambda-1</math>.

=== دالة التوزيع التراكمية ===
::<math> F(x)=P(X\leq x)=\sum^{\infty}_{S=0} f(S)</math>

=== متوسط التوزيع ===

::<math> \mu=E(x)=\sum^{\infty}_{x=0} x\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=\lambda \sum^{\infty}_{x=1} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-1)}}}{(x-1)!} </math>

وحيث أن
::<math> \mu=E(x)= \sum^{\infty}_{x=1} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-1)}}}{(x-1)!}=\sum^{\infty}_{Y=0} x\frac{e^{-\lambda}{\lambda^Y}}{Y!}=1 </math>

إذن <math>\lambda = \mu</math>

=== تباين التوزيع ===
لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة

::<math>E[X(X-1)]=\sum^{\infty}_{x=0} x\frac{(x-1)e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}=\lambda^2 \sum^{\infty}_{x=2} \frac{e^{-\lambda}{\lambda^{(x-2)}}}{(x-2)!}=\lambda^2 </math>

أي أن

::<math> E(X^2)-E(X)=\lambda^2</math>

:::<math>\therefore E(X^2)=\lambda^2+\lambda</math>

إذن
::<math> \sigma^2=E(X^2)-\mu^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda</math>

ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط = <math>\lambda</math>

=== دالة توزيع العزوم ===
::<math>M_{X}(t)=E(e^{xt})\sum^{\infty}_{x=0}e^{xt}\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}</math>
::::<math>=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{x=0}\frac{(\lambda e^{t})^x}{x!}</math>
:::<math>=e^{-\lambda} e^{\lambda e^t}=e^{\lambda (e^t-1)}</math>

حيث أن
::<math> M'(t)=\lambda e^t \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}</math>

::<math> M'(t)=\lambda^2 e^{2t} \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}+\lambda e^t \centerdot e^{\lambda (e^t-1)}</math>

::<math>\mu=\mu'_1=M'(0)=\lambda</math>

::<math>\mu'_2=M''(0)=\lambda^2 +\lambda</math>

::<math>\sigma^2=\mu'_2-\mu^2=\lambda</math>

مثال:
إذا كان متوسط عدد الحوادث الأسبوعية على إحدى الطرق في مدينة ما هو 3 حوادث. فما احتمال أن يقع في أحد الأسابيع حادثتين ؟

الحل:

متوسط عدد الحوادث <math>3=\lambda=</math>

نفرض أن X عدد الحوادث الأسبوعية إذن <math> X\backsim{Poi(3)}</math>

::<math> f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-3}{3^x}}{x!};  x=0,1,...</math>

:::<math> f(2)=P(X=2)=\frac{e^{-3}{3^2}}{2!}=0.2240</math>

== حساب (p(k ==

يقام حساب هذه الكمية نتيجة عن العمل ب[[توزيع ثنائي الحدين|توزيع ثنائي]] ذا المعلمتين (T ; λ/T). إذا اعتبرنا T كبيرا، فيمكن تبيين أن التوزيع الثنائي [[نهاية (توضيح)|نهايته]] في [[لانهاية|اللانهاية]] هو توزيع بواسون.

== [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] و[[تباين (توضيح)|التباين]] و[[انحراف معياري|الانحراف المعياري]] ==

* [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] لتوزيع بواسون هي λ
* [[تباين (توضيح)|تباين]] توزيع بواسون λ
* [[انحراف معياري|الانحراف المعياري]] لتوزيع بواسون هو <math>\sqrt{\lambda}</math>

== ميادين الاستعمال ==

غالبا ما استعمل توزيع بواسون لحساب أحداث النادرة كانتحار الأطفال، وصول البواخر إلى المرسى أو الحوادث الناتجة عن ركالات الأحصنة في العساكر (دراسة لاديسلاوس بورتكيفيكز)

أما منذ بعض عشرات السنين، امتد استعمال توزيع بواسون إلى ميادين أخرى. فهو يستعمل كثيرا الآن في [[تكنولوجيات الإتصال]] (حساب عدد المواصلات في مدّة معينة)، مراقبة الجودة الإحصائية، وصف بعض الظواهر التابعة لميدان [[إشعاع نووي|التفكيك النووي المشع]] (تفكيك النواة المشعة يتبع [[دالة أسية]] ذات معملة تدعى أيضا λ) و[[علم الأحياء]] و[[مرصد جوي|الرصد الجوي]]...

== الرسوم البيانة ذات الأعمدة ==

ككل توزيع قائم على [[احتمال منفصل]]، يمكن تمثيل توزيع بواسون برسوم بيانية ذات أعمدة.
هنا تحت، تمثل الرسوم البيانية توزيع بواسون ذا المعلمات 1 و2 و5.

<div style="text-align: center;">
[[ملف:Poisson1.png|رسم بياني ذا أعمدة لتوزيع بواسون ذا المعملة 1]] [[ملف:Poisson2.png|رسم بياني ذا أعمدة لتوزيع بواسون ذا المعملة 2]] [[ملف:Poisson5.png|رسم بياني ذا أعمدة لتوزيع بواسون ذا المعملة 5]]
</div>

رسم توزيع بواسون ذا العامل 5 بدأ يشبه بعض الشيء [[توزيع احتمالي طبيعي|التوزيع الطبيعي]] (أو التوزيع الغاوسي) ذا القيمة المتوقعة 5 التباين 5. ولذلك إذا كانت λ أكبر من 5، نخير استعمال نموذج التوزيع الطبيعي.

== بعض الخاصيات ==

إذا كانتا X وY متغيران عشوائيان مستقلاّن يتبعان توزيع بواسون، الأولى مع المعلمة λ والثانية المعلمة μ فإنّ X+Y متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ذا المعلمة λ+μ.

== اقرأ أيضا ==

* [[نظرية الاحتمال]]
* [[توزيع احتمال]]ي
* [[توزيع ثنائي الحدين]]
* [[توزيع احتمالي طبيعي]]

== ملاحظات ==

* توجد جداول للمساعدة على حساب احتمال بمعرفة λ وk. موقع الجدول في ويكي مصدر العربية: [[:s:جدول توزيع بواسون|جدول توزيع بواسون]].

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{بعض التوزيعات الاحتمالية الشائعة بمتغير واحد}}
{{ضبط استنادي}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|إحصاء|رياضيات|علوم}}

[[تصنيف:توزيع بواسون|*]]
[[تصنيف:احتمالات]]
[[تصنيف:استحداثات 1711]]
[[تصنيف:توزيع احتمالي طبيعي]]
[[تصنيف:توزيع الاحتمالية المناسب]]
[[تصنيف:توزيع البرمجيات]]
[[تصنيف:توزيع الخوارزميات]]
[[تصنيف:توزيع الطاقة]]
[[تصنيف:توزيع الكهرباء]]
[[تصنيف:توزيع المحتوى عبر الشبكة]]
[[تصنيف:توزيعات احتمالية]]
[[تصنيف:مقالات تحوي أمثلة مكتوبة بشيفرة تقريبية]]
[[تصنيف:موضوعات حاسمة وذات حدين]]
[[تصنيف:نظرية الاحتمالات]]