عرض مصدر تقريب ستيرلينغ

{{بطاقة عامة}}
[[ملف:Mplwp factorial gamma stirling.svg|تصغير|يسار|upright=1.35|مقارنة بين تقريب ستيرلينغ من جهة (اللون الأحمر) و[[دالة غاما]] من جهة أخرى (اللون الأزرق). مُثلت [[عاملي|دالة العاملي]] بنقاط على منحنى دالة غاما.]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''تقريب ستيرلينغ''' {{إنج|Stirling's approximation}} (أو '''صيغة ستيرلينغ''' {{إنج|Stirling's formula}}) هو [[صيغة رياضية]] تستخدم لتقريب قيم [[عاملي|العاملي]] الكبيرة.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html | عنوان = معلومات عن تقريب ستيرلينغ على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190920203857/http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html | تاريخ أرشيف = 20 سبتمبر 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب| مسار = https://brilliant.org/wiki/stirlings-formula/ | عنوان = معلومات عن تقريب ستيرلينغ على موقع brilliant.org | ناشر = brilliant.org| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171101095637/http://brilliant.org/wiki/stirlings-formula/ | تاريخ أرشيف = 1 نوفمبر 2017 }}</ref> سمي كذلك نسبة إلى عالم الرياضيات [[جيمس ستيرلنغ (رياضياتي)|جيمس ستيرلينغ]].
::<math>\ln n! \cong n \ln n - n \,</math>

== مصدر الصيغة ==
يمكن أن يُحصل بسرعة على أبسط شكل لتقريب ستيرلينغ، بالعمل على المجموع التالي:
<math display=block>\ln(n!) = \sum_{j=1}^n \ln j</math>
بحساب [[تكامل|التكامل]]:
<math display=block>\sum_{j=1}^n \ln j \approx \int_1^n \ln x \,{\rm d}x = n\ln n - n + 1.</math>

انظر إلى [[قاعدة شبه المنحرف]] وإلى [[صيغة أويلر-ماكلورين]] وإلى [[عدد برنولي]] وإلى [[جداء واليس]].

== مصدر آخر لتقريب ستيرلينغ ==
يمكن التعبير عن [[عاملي|دالة العاملي]] باستعمال [[دالة غاما]] كما يلي:
<math display=block> n! = \int_0^\infty x^n e^{-x}\,{\rm d}x.</math>

انظر إلى [[طريقة لابلاص]].

== صيغة ستيرلينغ بالنسبة لدالة غاما ==
بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية، يتوفر ما يلي:
<math display=block>n! = \Gamma(n + 1),</math>

حيث {{تعبير رياضي|Γ}} هي [[دالة غاما]].

لكن، دالة غاما هي دالة ليست معرفة على مجموعة [[عدد صحيح|الأعداد الصحيحة]] فقط، بل هي معرفة على مجموعة الأعداد العقدية كاملة، باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة.

<math display=block>\ln\Gamma (z) = z\ln z - z + \tfrac12\ln\frac{2\pi}{z} + \int_0^\infty\frac{2\arctan\left(\frac{t}{z}\right)}{e^{2\pi t}-1}\,{\rm d}t.</math>

== التاريخ ==
اخترعت هذه الصيغة أول مرة من طرف عالم الرياضيات [[أبراهام دي موافر]] على الشكل التالي:
:<math>n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+\frac12} e^{-n}.</math> حيث ''constant'' هي ثابتة ما.

أعطى [[أبراهام دي موافر]] قيمة مقربة [[لوغاريتم طبيعي|للوغاريتم الطبيعي]] لتلك الثابتة في شكل عدد جذري. أثبت ستيرلينغ فيما بعد أن هذه الثابتة هي بالتحديد <math>\sqrt{2\pi}</math>.

== مثال ==
القيمة الفعلية ل‌15! هي 1307674368000، القيمة التقريبي هي 1300420000000 (الخطأ النسبي حوالي 0.006):
:<math>ln(A(15))=15(ln(15)-1)+\frac{1}{2} (ln(2\pi)+ln(15))\approx 27.89371 \Rightarrow 15!\approx A(15)=e^{ln(A(15))}\approx 1300420000000</math>

== مراجع ==
{{مراجع}}

== وصلات خارجية ==

{{تحليل رياضي}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}
{{تصنيف كومنز|Stirling's approximation}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:تحليل مقارب]]
[[تصنيف:غاما والدوال المتعلقة بها]]
[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الرياضي]]
[[تصنيف:نظرية الأعداد التحليلية]]