عرض مصدر تفرطح

[[ملف:Kurtosis no text.png|تصغير|أمثلة لأشكال [[توزيع احتمال|توزيع احتمالي]] بقيم تفرطح مختلفة: توزيع '''بتفرطح متوسط''' Mesokurtic (المنحنى B) - توزيع '''بتفرطح رفيع''' Leptokurtic (المنحنى A) - توزيع '''بتفرطح مسطح''' Platykurtic (المنحنى C)|بديل=|278x278بك]]
'''التفرطح'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q130298867|الصفحة=1752}}</ref> {{إنج|Kurtosis}}، ويسمى أيضا '''بمعامل التفرطح''' أو '''معامل التسطيح''' أو '''درجة التقوس'''، هو مؤشر لقياس درجة تحدب أو تقوس دالة [[توزيع احتمال|التوزيع الاحتمالي]] [[متغير عشوائي|لمتغير عشوائي]] [[عدد حقيقي|حقيقي]]. هو، إلى جانب [[تجانف|التجانف]]، من أهم [[معالم شكل التوزيع|معالم أشكال توزيع]] [[متغير عشوائي|المتغيرات العشوائية]]، ويمكن من وصف شكل توزيع الاحتمالات في جوار [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]].<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://www.institut-numerique.org/321-statistiques-descriptives-4e09fc2669806
| عنوان = Statistiques descriptives
| تاريخ = 
| موقع = 
| ناشر = 
| تاريخ الوصول = 
| الأخير = 
| الأول = 
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191224001456/https://www.institut-numerique.org/321-statistiques-descriptives-4e09fc2669806 | تاريخ أرشيف = 24 ديسمبر 2019 }}</ref>

التسمية الإنجليزية مستنبطة من [[اللغة الإغريقية|الإغريقية القديمة]] (κύρτωσις) وتعني الانحناءة أو التقوس.<ref>{{استشهاد ويب
| مسار = http://www.psychometrie.jlroulin.fr/cours/aide_quizz.html?B23.html
| عنوان = Paramètres de forme
| تاريخ = 
| موقع = 
| ناشر = 
| تاريخ الوصول = 
| الأخير = 
| الأول = 
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191224124554/http://www.psychometrie.jlroulin.fr/cours/aide_quizz.html?B23.html | تاريخ أرشيف = 24 ديسمبر 2019 }}</ref> أول من عَرَّفهُ هو [[كارل بيرسون]] في القرن 19.<ref name=":0">{{استشهاد ويب
| مسار = http://www.jybaudot.fr/Stats/kurtosis.html
| عنوان = Kurtosis
| تاريخ = 
| موقع = 
| ناشر = 
| تاريخ الوصول = 
| الأخير = 
| الأول = 
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191223013221/http://www.jybaudot.fr/Stats/kurtosis.html | تاريخ أرشيف = 23 ديسمبر 2019 }}</ref>

== تعريف ==

=== التفرطح الغير مُعيَّر ===
باعتبار متغير عشوائي حقيقي <math>X</math> [[متوسط (إحصاء)|بمتوسط]] <math>\mu</math> و[[انحراف معياري]] <math>\sigma</math>، معامل التفرطح للمتغير <math>X</math> هو [[عزم (رياضيات)|العزم]] من الرتبة '''الرابعة''' [[تحويل معياري|للتحويلة المعيارية]] ل <math>X</math>:<ref name=":0" />

<math>\beta_2 = \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^4 \right]</math> وهو يساوي : <math>\beta_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^{4}} </math> مع <math>\mu_i</math> [[عزم (رياضيات)|العزم]] من الرتبة <math>i</math> للمتغير <math>X</math>.

=== التفرطح المعير ===
ويسمى أيضا '''بالتفرطح بإفراط''' ([[اللغة الإنجليزية|بالإنجليزية]]:Excess Kurtosis) ويقضي بطرح 3 من التفرطح الغير معير: <math>\gamma_2 =  \beta_2 - 3 </math>.

هذه الصيغة هي الأكثر استعمالا بين الإحصائيين، وتعرف '''''بتفرطح فيشر'''''، وأيضا في البرامج الإحصائية (التي تقوم بحساب قيمة [[مقدر]] [[انحياز (إحصاء)|بدون انحياز]] ل <math>\gamma_2 </math>). يعزى هذا التفضيل إلى كون قيمة التفرطح بالنسبة [[توزيع احتمالي طبيعي|لتوزيع طبيعي]] تساوي 3، وبذلك تعتبر حالة [[توزيع احتمالي طبيعي|التوزيع الطبيعي]] كنوع من [[معايرة (قياس)|المعايرة القياسية]] لكل التوزيعات الأخرى.<ref name=":0" /><ref>{{استشهاد ويب
| مسار = https://www.univ-orleans.fr/gdre09/articles/HONORE-DOSSOU-LARDIC4.pdf
| عنوان = Skewness et kurtosis des pr´evisions de bénéfice : Impact sur les rendements
| تاريخ = 
| موقع = 
| ناشر = 
| تاريخ الوصول = 
| الأخير = 
| الأول = 
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170329014252/http://www.univ-orleans.fr/gdre09/articles/HONORE-DOSSOU-LARDIC4.pdf | تاريخ أرشيف = 29 مارس 2017 }}</ref><ref>{{استشهاد ويب
| مسار = http://tecfaetu.unige.ch/staf/staf-d/merino/UDO/th-distribution1.html
| عنوان = La distribution normale
| تاريخ = 
| موقع = 
| ناشر = 
| تاريخ الوصول = 
| الأخير = 
| الأول = 
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181012034408/http://tecfaetu.unige.ch/staf/staf-d/merino/UDO/th-distribution1.html | تاريخ أرشيف = 12 أكتوبر 2018 }}</ref>

=== مقدر بدون انحياز ===
المقدر الأكثر استخداما لحساب <math>\gamma_2 </math> هو:<math>G_2 = \frac{n (n+1)}{(n-1) (n-2) (n-3)} \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \hat{\bar{x}})^4}{\hat{\sigma^2}^2} - 3 \frac{(n-1)^2}{(n-2) (n-3)}</math>

بحيث باعتبار <math>\hat{\bar{x}}</math> و<math>\hat{\sigma}^2</math> هما [[مقدر|المقدران]]، [[انحياز (إحصاء)|بدون انحياز]]، على التوالي [[قيمة متوقعة|للقيمة المتوقعة]] و[[تباين (إحصاء)|تباين]] المتغير <math>X</math>.

== مجال تغير التفرطح ==
باعتبار مربع [[متغير موسط مختزل|التحويلة الموسطة المختزلة]] ل <math>X</math>: <math>Y=(\frac{X-\mu}{\sigma})^2</math>،

فالقيمة المتوقعة ل <math>Y</math> تساوي <math>E(Y)=\frac{\mu_2}{\sigma^2}=1</math> وتباينه يساوي <math>V(Y)=E\left(Y^2\right) - E(Y)^2 = \beta_2 - 1 = \gamma_2 + 2</math>

وبحكم أن التباين قيمة موجبة، نستنتج أن:

* <math>\beta_2\geq 1</math>
* و <math>\gamma_2\geq -2</math>

للتفرطح إذا عتبة دنيا بينما ليست له عتبة عليا. العتبة الدنيا (<math>\gamma_2= -2</math>) تتحقق في حالة [[توزيع برنولي|توزيع بيرنولي]] <math>\mathfrak{B}(n,1/2)</math>.

== أشكال التفرطح ==

* '''<math>\gamma_2= 0</math> ، تفرطح متوسط (Mesokurtic)''': كما في حالة التوزيع الطبيعي.
* '''<math>\gamma_2> 0</math>، تفرطح رفيع (Leptokurtic)''': المميز للتوزيعات الاحتمالية التي تكون قمة منخناها رفيعة.
* '''<math>\gamma_2< 0</math> تفرطح مسطح (Platykurtic)''': تكون قمة منحنى التوزيع آيلة للتسطيح.

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{إحصاءات}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|إحصاء|رياضيات}}
{{روابط شقيقة|commons=Kurtosis}}

[[تصنيف:إحصاء وصفي]]
[[تصنيف:عزم (رياضيات)]]