عرض مصدر تفاضل الدوال المثلثية

{{شريط جانبي حساب المثلثات}}

{| class="wikitable" style="text-align:center" align="left"
! الدالة
! مشتقها
|-
|<math>\sin(x)</math>||<math>\cos(x)</math>
|-
|<math>\cos(x)</math>||<math>-\sin(x)</math>
|-
|<math>\tan(x)</math>||<math>\sec^2 x\, </math>
|-
|<math>\cot(x)</math>||<math> 
-\csc^2 x\, </math> <br />
|-
|<math>\sec(x)</math>||<math>\sec(x)\tan(x)</math>
|-
|<math>\csc(x)</math>||<math>-\csc(x)\cot(x)</math>
|-
|<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arccos(x)</math>
|<math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan(x)</math>
|<math>\frac{1}{x^2+1}</math>
|-
|-
|<math>\arccot(x)</math>
|<math>-\frac{1}{x^2+1}</math>
|-
|<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
|<math>\arccsc(x)</math>
|<math>-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
|}

'''تفاضل الدوال المثلثية''' هي العملية الحسابية لإيجاد مشتق [[دوال مثلثية|دالة مثلثية]]، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير. على سبيل المثال، يكتب مشتق [[جيب (رياضيات)|دالة الجيب]] على هذا الشكل {{تعبير رياضي|sin′(a) {{=}} cos (a)}}، وهذا يعني أن معدل تغير {{تعبير رياضي|sin (''x'')}} عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.

يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية من تلك الخاصة بـ sin (x) و cos (x) عن طريق [[قاعدة ناتج القسمة]] المطبقة على الدوال مثل {{تعبير رياضي|tan (''x'') {{=}} sin (''x'') / cos (''x'')}}. بمعرفة هذه المشتقات، يتم إيجاد مشتقات [[دوال مثلثية عكسية|الدوال المثلثية العكسية]] باستخدام التفاضل الضمني.

== مشتقات الدوال المثلثية ودوالها العكسية ==
<div style="direction:ltr;">
:<math>\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\tan(x) = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\cot(x) = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{-1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\sec(x) = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\csc(x) = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\mbox{arccot}(x) = \frac{-1}{1+x^2}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\mbox{arcsec}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\mbox{arccsc}(x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
</div>

== إثبات مشتقات الدوال المثلثية ==

=== نهاية {{تعبير رياضي|sin(''θ'')/''θ''}} لما ''θ'' يؤول إلى 0 ===

[[ملف:Lim Circ.jpg|تصغير|يسار|دائرة ذات المركز O ونصف القطر 1]]
[[ملف:Squeeze FbN.png|تصغير|يسار|العصر: منحنيا y = 1 و y = cos θ موضحة باللون الأحمر، ومنحنى y = sin(θ)/θ موضح باللون الأزرق.]]
يوضح الرسم البياني الموجود على اليسار دائرة ذات المركز O ونصف القطر r = 1. لتكن OA و OB اثنين من نصف القطر يصنعان قوس قياسه θ راديان. بما أننا اعتبرنا [[نهاية (رياضيات)|النهاية]] لما θ يؤول إلى الصفر، فقد نفترض أن θ هو عدد موجب صغير، نقول {{تعبير رياضي|0 < θ < ½}} في [[ربع (هندسة تحليلية)|الربع]] الأول.

في الرسم البياني، ليكن R<sub>1</sub> المثلث OAB و R<sub>2</sub> [[قطاع دائري|القطاع الدائري]] OAB و R<sub>3</sub> المثلث OAC. مساحة المثلث OAB هي:

:<math> \mathrm{Area}(R_1
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB|  \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . </math>

مساحة القطاع الدائري ''OAB'' هي: <math>\mathrm{Area}(R_2) 
=\tfrac{1}{2}\theta</math>، بينما مساحة المثلث OAC معطاة بواسطة:

:<math> \mathrm{Area}(R_3
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . </math>

بما أن كل منطقة تقع في المنطقة التالية، فإن:

:<math>\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \iff 
\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \, . </math>

زيادة على ذلك، بما أن {{تعبير رياضي|1=sin ''θ'' > 0}} في الربع الأول، فيمكننا القسمة على {{تعبير رياضي|½ sin ''θ''}}، معطيًا:
:<math>1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . </math>

في الخطوة الأخيرة، أخذنا مقاليب الحدود الموجبة الثلاثة، وعكسنا المتباينة.

نستنتج أنه من أجل {{تعبير رياضي|0 < θ < ½ π}}، يكون مقدار {{تعبير رياضي|sin(''θ'')/''θ''}} دائما أقل من 1 ودائمًا أكبر من cos(θ). وهكذا، عندما تقترب ''θ'' من 0، فإن {{تعبير رياضي|sin(''θ'')/''θ''}} «[[مبرهنة الساندويتش|عُصِرت]]» بين سقف ارتفاعه 1 وأرضية ارتفاعها {{تعبير رياضي|cos ''θ''}}، والتي ترتفع نحو 1؛ لذلك يجب أن تؤول {{تعبير رياضي|sin(''θ'')/''θ''}} إلى 1؛ حيث أن ''θ'' تؤول إلى 0 من الجهة الموجبة:
<blockquote><math>\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . </math></blockquote>

بالنسبة للحالة التي تكون فيها ''θ'' عددًا سالبًا صغيرًا {{تعبير رياضي|–½ π < θ < 0}}، نستخدم حقيقة أن الجيب [[دوال زوجية وفردية|دالة فردية]]:

:<math>\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 
 1 \, . </math>

=== نهاية {{تعبير رياضي|(cos(θ)-1)/θ}} لما θ يؤول إلى 0 ===

يتيح لنا القسم الأخير حساب هذه النهاية الجديدة بسهولة نسبية. يتم ذلك عن طريق استخدام حيلة بسيطة. في هذا الحساب، إشارة θ غير مهمة.

:<math> \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)} . </math>

باستخدام هذه المتطابقة {{تعبير رياضي|1=cos<sup>2</sup>''θ'' – 1 = –sin<sup>2</sup>''θ''}}،
حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، ونتيجة النهاية من القسم السابق، نجد أن:

:<math> \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} 
\ =\ 
\left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
(-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . </math>

=== نهاية {{تعبير رياضي|(tan(θ))/θ}} لما θ يؤول إلى 0 ===

باستخدام نهاية [[جيب (رياضيات)|دالة الجيب]]، وحقيقة أن [[ظل (حساب المثلثات)|دالة الظل]] فردية، وحقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، نجد:

:<math>
  \lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta}
  \ =\ 
 \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\!
 \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right)
 \ =\ 
 (1)(1)
 \ =\ 
  1 \, . </math>

=== مشتق دالة الجيب ===
نحسب مشتق دالة الجيب باستخدام تعريف بواسطة النهاية:

:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0}  \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . </math>

باستخدام [[قائمة المطابقات المثلثية#متطابقات مجموع وفرق الزوايا|متطابقة مجموع زاويتين]] {{تعبير رياضي|1=sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α}}، لدينا:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta 
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . </math>
باستخدام نهايتي كل من دالة الجيب وجيب التمام:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta 
 =
\cos\theta \, . </math>

=== مشتق دالة جيب التمام ===
==== من تعريف المشتق ====
مرة أخرى نحسب مشتق دالة [[جيب التمام]] من تعريف بواسطة النهاية:

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين {{تعبير رياضي|1=cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β}}، لدينا:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right) . </math>
باستخدام النهايات الأولى:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 = (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \, . </math>

==== من قاعدة السلسلة ====

لحساب مشتق دالة جيب التمام من [[قاعدة السلسلة]]<ref group="ملاحظة">تسمى أيضًا "قاعدة مشتق [[تركيب الدوال|الدالة التركيبية]] (أو الدالة المحصلة)"</ref>، لاحظ أولاً الحقائق الثلاث التالية:

:<math>\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)</math>
:<math>\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)</math>
:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta</math>

الأولى والثانية هما متطبقتان مثلثيتان، والثالث تم إثباته أعلاه. باستخدام هذه الحقائق الثلاث، يمكننا كتابة ما يلي:

:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)</math>
يمكن اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة. لتكن <math>f(x) = \sin x</math> و <math> g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta</math>، لدينا:

:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta</math>

إذن:

:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta</math>.

=== مشتق دالة الظل ===
==== من تعريف المشتقة ====
لحساب مشتق [[ظل (حساب المثلثات)|دالة الظل]] {{تعبير رياضي|tan ''θ''}}، نستخدم تعريف بواسطة النهاية:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right) .
</math>
باستخدام المتطابقة المعروفة:
{{تعبير رياضي|1=tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)}}، لدينا:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right]
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right] .
</math>
باستخدام حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء نهايتين:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right) .
</math>
باستخدام النهاية الخاصة بدالة الظل، وحقيقة أن {{تعبير رياضي|tan ''δ''}} يؤول إلى 0 حيث δ يؤول إلى 0:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta .
</math>
نرى على الفور أن:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{1}{\cos^2\theta}
 = \sec^2\theta \, .
</math>

==== من قاعدة ناتج القسمة ====
يمكن للمرء حساب مشتق دالة الظل باستخدام [[قاعدة ناتج القسمة]].
:<math>\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta 
 = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
 = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta }
 = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}
</math>
يمكن تبسيط البسط إلى 1 بواسطة [[متطابقة فيثاغورس المثلثية|متطابقة فيثاغورس]]، يعطينا:
:<math>\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta</math>

إذن:
:<math>\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta</math>

== إثبات مشتقات الدوال المثلثية العكسية ==

يتم إيجاد المشتقات التالية عن طريق وضع متغير y يساوي الدالة المثلثية العكسية التي نرغب في إيجاد مشتقها. باستخدام التفاضل الضمني ثم الحل لـ {{تعبير رياضي|d''y''/d''x''}}، يتم إيجاد مشتق الدالة العكسية بدلالة y. لتحويل {{تعبير رياضي|d''y''/d''x''}} مرة أخرى إلى كونها بدلالة x، يمكننا رسم مثلث مرجعي على دائرة الوحدة، نعتبر θ هي y. باستخدام [[مبرهنة فيثاغورس]] وتعريف الدوال المثلثية العادية، يمكننا في النهاية التعبير عن {{تعبير رياضي|d''y''/d''x''}} بدلالة x.

=== اشتقاق دالة الجيب العكسية ===
نعتبر الدالة

:<math>y=\arcsin x\,\!</math>

حيث

:<math>-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}</math>

بالتعريف

:<math>\sin y=x\,\!</math>

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ <math>x</math> وحل لـ {{تعبير رياضي|d''y''/d''x''}}:

:<math>{d \over dx}\sin y={d \over dx}x</math>

:<math>\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!</math>

نعوض بـ <math> \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}</math>:

:<math>\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1</math>

نعوض بـ <math>x=\sin y</math>:

:<math>\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1</math>

:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

=== اشتقاق دالة جيب التمام العكسية ===
نعتبر الدالة

:<math>y=\arccos x\,\!</math>

حيث

:<math>0 \le y \le \pi</math>

بالتعريف

:<math>\cos y=x\,\!</math>

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ <math>x</math> وحل لـ {{تعبير رياضي|d''y''/d''x''}}:

:<math>{d \over dx}\cos y={d \over dx}x</math>

:<math>-\sin y \cdot {dy \over dx} =1</math>

نعوض بـ <math>\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!</math>:

:<math>-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1</math>

نعوض بـ <math>x=\cos y\,\!</math>:

:<math>-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1</math>

:<math>{dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

=== اشتقاق دالة الظل العكسية ===

نعتبر الدالة

:<math>y=\arctan x\,\!</math>

حيث

:<math>-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}</math>

بالتعريف

:<math>\tan y=x\,\!</math>

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ <math>x</math> وحل لـ {{تعبير رياضي|d''y''/d''x''}}:

:<math>{d \over dx}\tan y={d \over dx}x</math>

الطرف الأيسر:

:<math>
 {d \over dx}\tan y
 = \sec^2 y \cdot {dy \over dx}
 = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx}
</math> باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

:<math>{d \over dx}x = 1</math>

ومنه:

:<math>(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1</math>

نعوض بـ <math>x=\tan y\,\!</math> ، نحصل على:

:<math>(1+x^2){dy \over dx}=1</math>

:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}</math>

=== اشتقاق دالة ظل التمام العكسية ===

نعتبر الدالة

:<math>y=\arccot x</math>

حيث <math>0<y<\pi</math>.

بالتعريف

:<math>\cot y=x</math>

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ <math>x</math> وحل لـ {{تعبير رياضي|d''y''/d''x''}}:

:<math>\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x</math>

الطرف الأيسر:

:<math>
 {d \over dx}\cot y
 = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx}
 = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx}
</math> باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

:<math>{d \over dx}x = 1</math>

ومنه،

:<math>-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1</math>

نعوض بـ <math>x=\cot y</math>:

:<math>-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1</math>

:<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}</math>

=== اشتقاق دالة القاطع العكسية ===
==== باستخدام التفاضل الضمني ====
نعتبر الدالة:

:<math> y = \arcsec x\ \ |x| \geq 1</math>

بالتعريف

:<math> x = \sec y \ \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]
</math>

:<math> \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}</math>
(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء القاطع والظل في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة <math>\sqrt{x^2-1}</math> دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>

==== باستخدام قاعدة السلسلة ====
بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة القاطع العكسية من مشتق دالة جيب التمام العكسية باستخدام [[قاعدة السلسلة]].

لتكن

:<math> y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) </math>

حيث

:<math> |x| \geq 1 </math> و <math> y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] </math>

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على <math> \arccos \left(\frac{1}{x}\right) </math>:

:<math> \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} </math>

=== اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية ===
==== باستخدام التفاضل الضمني ====
لتكن

:<math>y = \arccsc x\ \ |x| \geq 1</math>

بالتعريف:

:<math> x = \csc y\ \ \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]</math>

:<math> \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}</math>
(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء قاطع التمام وظل التمام في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة <math>\sqrt{x^2-1}</math> دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>

==== باستخدام قاعدة السلسلة ====
بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية من مشتق دالة الجيب العكسية باستخدام [[قاعدة السلسلة]].

لتكن

:<math> y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) </math>

حيث

:<math> |x| \geq 1 </math> و <math> y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] </math>

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على <math> \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) </math>:

:<math> \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} </math>

== انظر أيضًا ==
* [[قواعد التفاضل|جدول المشتقات]]
* [[قائمة تكاملات الدوال المثلثية]]
* [[قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية]]

== هوامش وملاحظات ==
{{مراجع|مجموعة=ملاحظة}}

{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}

[[تصنيف:حساب تفاضلي]]
[[تصنيف:دوال مثلثية]]
[[تصنيف:مطابقات رياضية]]
[[تصنيف:معادلات تفاضلية]]