عرض مصدر تفاضل

{{بطاقة عامة}}
{{تفاضل تكامل}}

'''حساب التفاضل''' {{إنج|Differential calculus}} هو فرع من فروع الرياضيات يندرج تحت [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل التكامل]] (Calculus)، يختص بدراسة معدل تغير دالة ما (y = ƒ(x بالنسبة للمتغير المستقل (''x'').<ref>{{استشهاد بكتاب | الأخير = Sabra | الأول = A I.|عنوان=Theories of Light: From Descartes to Newton | مسار = https://archive.org/details/theoriesoflightf0000sabr | ناشر =  Cambridge University Press | سنة = 1981 | صفحة = [https://archive.org/details/theoriesoflightf0000sabr/page/144 144] | isbn = 978-0521284363}}</ref><ref>[http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html Bhaskaracharya II.] {{Webarchive|url=http://web.archive.org/web/20160901092504/http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk:80/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html |date=01 سبتمبر 2016}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأول=T. A. A.|الأخير=Broadbent|عنوان=Reviewed work(s): ''The History of Ancient Indian Mathematics'' by C. N. Srinivasiengar|مسار=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1968-10_52_381/page/307|صحيفة=The Mathematical Gazette|المجلد=52|العدد=381|تاريخ=October 1968|صفحات=307–8|doi=10.2307/3614212|jstor=3614212|مؤلف2-الأخير=Kline|مؤلف2-الأول=M.|postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref> أول المسائل التي يعنى هذا الفرع الرياضي بدراستها هو [[مشتق (رياضيات)|الاشتقاق]]. مشتقة الدالة (''y'' = ''ƒ''(''x'' عند نقطة ما تصف السلوك الرياضي والهندسي للدالة عند هذه النقطة أوعند النقاط القريبة جدًا منها، والمشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تساوي قيمة ميل المماس للدالة عند هذه النقطة، وبصفة عامة فإن المشتقة الأولى للدالة عند نقطة معينة تمثل أفضل "تقريب خطي" للدالة عند هذه النقطة.

عملية إيجاد المشتقات تسمى "التفاضل"، و[[المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل|النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل]] تنص على أن التفاضل هو العملية العكسية للتكامل، تماماً كما تعد عمليتا القسمة والطرح عمليتين عكسيتين للضرب والجمع على التوالي.

للتفاضل تطبيقات متعددة، ففي الفيزياء مثلا: المعدل الزمني للتغير في إزاحة جسيم متحرك هي سرعة الجسيم والمعدل الزمني للتغير في الإزاحة هو تفاضلها بالنسبة للزمن، أما تفاضل السرعة بالنسبة للزمن فيعطي العجلة، وللتفاضل أهمية أيضًا في قوانين نيوتن فالقانون الثاني ينص على أن القوة هي المعدل الزمني للتغير في كمية التحرك (أي تفاضل كمية التحرك بالنسبة للزمن)، كذلك من تطبيقاته إيجاد [[معدل التفاعل]] لتفاعل كيميائي، وفي بحوث العمليات تحدد المشتقات أوالتفاضلات الطرق المثلى لتصميم المصانع ونقل المواد أو الخامات أو المنتجات.

تستخدم المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة. المعادلات التي تتضمن تفاضلات (مشتقات) تسمى المعادلات التفاضلية، وهي من المعادلات الأساسية والهامة في توصيف الظواهر الطبيعية. تظهر المشتقات في العديد من مجالات الرياضيات كالتحليل العقدي، والتحليل الدالي، والهندسة التفاضلية، ونظرية القياس، والجبر المجرد.

== المبدأ ==
يعتمد التفاضل على إيجاد معادلة لإيجاد الميل عند نقطة معينة عن طريق تقليل الفرق بين التغير في قيم س إلى صفر تقريبا وهذا هو الاشتقاق

إذ أن قاعدة الميل هي: Δص\Δس (<math>m={\Delta y \over \Delta x}</math>)

إذن Δس تؤول إلى صفر (<math>\Delta x \rightarrow 0</math>)

أي أن س<sub>2</sub>-س<sub>1</sub>---->صفر (<math>x_2 - x_1 \rightarrow 0</math>)
أي أن س2---->س1 (<math>x_2 \rightarrow x_1</math>)

وبما أن Δس لا تساوي صفر ولكن تقترب منها فإن القيمة لا تصبح غير معرفة (<math>\Delta x \rightarrow 0</math>)

أي أن '''{{كسر|Δ ص|Δ س}}''': Δس---->صفر (<math>{\Delta y \over \Delta x} \Longrightarrow \Delta x \rightarrow 0</math>)

= '''{{كسر|ص<sub>2</sub> - ص<sub>1</sub>|س<sub>2</sub> - س<sub>1</sub>}}''' : س<sub>2</sub>---->س<sub>1</sub> (<math>\Longrightarrow { y_2 - y_1 \over x_2 - x_1 } \Longrightarrow x_2 \rightarrow x_1</math>)

= '''{{كسر|ق(س<sub>2</sub>) - ق(س<sub>1</sub>)|س<sub>2</sub> - س<sub>1</sub>}}''' : س<sub>2</sub>---->س<sub>1</sub> (<math>\Longrightarrow { f(x_2)-f(x_1) \over x_2 - x_1 } \Longrightarrow x_2 \rightarrow x_1</math>)

ومن هنا نستنتج أن الاشتقاق هو ميل مماس نقطة معينة في المنحنى، ونستنتج أيضا أن المماس ليس مارا

بنقطة واحدة، وإنما بنقطتين البعد السيني بينهما قريب جدا من الصفر أي أنه يؤول إلى الصفر وتكتب صيغة الإشتقاق كالآتي:
:<math>f'(x) = \frac{dy}{dx}= \lim_{\Delta\mathbf{x} \to 0} \frac{f(x+\Delta\mathbf{x}) - f(x)}{\Delta\mathbf{x}}.</math>

== طريقة الحل ==

نقوم بالاشتقاق معتمدين على حساب النهايات وفرض متغيرات مختلفة، فمثلًا:

كمتغيرات:

Δس = س<sub>2</sub> - س<sub>1</sub>

س<sub>1</sub> = س<sub>2</sub> - Δس

س<sub>2</sub> = Δس + س<sub>1</sub>

ونفرض Δس = هـ

أو يمكننا فرض س<sub>2</sub> = ج

ونقوم بدلًا من كتابة ص بكتابة ق(س)

أي أن المعادلة النهائية هي:

ق(س<sub>2</sub>) - ق(س<sub>1</sub>)\س<sub>2</sub> - س<sub>1</sub> : س<sub>2</sub>---->س<sub>1</sub>
= ق(س + هـ) - ق(س)\هـ : هـ----> صفر
= ق(ج) - ق(س)\ج - س : ج----> س<sub>1</sub>

== مثال ==

أوجد مشتقة س<sup>2</sup>

وحسب القانون : ق(س+هـ)-ق(س)\هـ : هـ ----> صفر

ونعوض في المعادلة

س²+2س هـ+هـ²-س²\هـ : هـ---->صفر

نحل المعادلة

س²-س²+هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= هـ(2س+هـ)\هـ : هـ---->صفر

= 2س+هـ : هـ---->صفر

= 2س

وفعلا مشتقة س² = 2س

وكقاعدة عامة، فإن مشتقة أي كثير حدود درجته أكبر من صفر هي:

ق(س) = أس<sup>ع</sup>+ب س<sup>(ع-1)</sup>+...+ج

قَ(س) = (أ×ع)س<sup>(ع-1)</sup>+(ب(ع-1))س<sup>(ع-2)</sup>+...+0

== الاشتقاق الضمني ==

هذا الاشتقاق يعمد إلى إيجاد ميول المماسات في العلاقات التي لا تمثل اقترانات، حيث يعجز الاشتقاق العادي عنها.

فتمثيل الاشتقاق يكون ب (دص\دس) تمثيلا لكتابة ص بواسطة س، أي أن ص = أس<sup>ع</sup>+وس<sup>ك</sup>+...

أي أن قيمة ص تحدد بقيمة س

وإذا أخذنا الاشتقاق (دس\دص) فإننا وقتها نعتبر قيمة س تتغير وفقا ل ص

أي أن س = أص<sup>ع</sup>+وص<sup>ك</sup>+...

إذن دص\دس تعبر عن ق(س)
وكذلك دس\دص يعبر عن ق(ص)

ودائما يتغير المتغير الذي في الأعلى ويبقى الذي في الأسفل ثابتا.

..

== مثال ==

إذا أردنا إيجاد دص\دس <math>\left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)</math>في الاقتران

ق(س) = س³+3س²-2س+4 ( <math>f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 4</math> )

قَ(س) = 3س²+6س-2 (<math>f '(x) = 3x^2 + 6x - 2</math>)

وهذا وفقا لتعميم

والحل بالطريقة الجديدة

قَ(س) = 3س²(دس\دص)+6س(دس\دص)-2(دس\دص)

وبما أن دس\دص= 1 فإنها لا تؤثر على النتيجة ويكون الجواب النهائي : قَ(س) = 3س²+6س-2

== النهايات ==
إن المبدأ الأساسي لحساب التفاضل وكذلك لحساب التكامل المحدد يعتمد اعتمادا كبيرا على فكرة النهايات ولقد ابتدع كل من [[إسحاق نيوتن]] وجوتفريد ليبنتز العلاقة بين التفاضل والتكامل ومن ثم فإليهما يرجع الأساس في اكتشاف علم التفاضل والتكامل وتجدر الإشارة إلى أن جهودهما كانتا منفصلتان كل عن الآخر لذلك فقد ساهم كل منهما مساهمة كبيرة في اكتشاف وتطور هذا العلم.

== مراجع ==
{{مراجع}}

== ملاحظات ==

إذا كانت دص\دس = 1 فليس صحيحا أن دص = دس فهو رمز رياضي يعبر عن الاشتقاق ويعبر عن الميل وعن التعبير عن ص بواسطة س في المعادلة.

* [[مشتق (رياضيات)|اشتقاق (رياضيات)]]

== أقرأ أيضا ==
* [[تفاضل كامل]]
* [[تفاضل وتكامل|التفاضل والتكامل]]
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

{{ضبط استنادي}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:حساب تفاضلي]]