عرض مصدر تغير الضغط بالارتفاع

[[ملف:Pressure air.svg|تصغير|400px|تغير الضغط بالمليمتر زئبق بتغير الارتفاع حتى ارتفاع 12000 متر.]]

'''الصيغة البارومترية''' أو '''الأس الجوي''' هي صيغة نموذج رياضي تبين مدى تغير ضغط الهواء مع الارتفاع.<ref>[https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770009539_1977009539.pdf U.S. Standard Atmosphere], 1976, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., 1976. (Linked file is 17 Mb) {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140201233336/http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770009539_1977009539.pdf |date=01 فبراير 2014}}</ref><ref>{{استشهاد بويب|الأخير1=Braeunig|الأول1=Robert|عنوان=ATMOSPHERIC MODELS|مسار=http://www.braeunig.us/space/atmmodel.htm|موقع=Rocket and Space Technology| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171216181954/http://www.braeunig.us/space/atmmodel.htm | تاريخ أرشيف = 16 ديسمبر 2017 }}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Stull|الأول1=Roland|عنوان=Practical Meteorology|صفحة=12|مسار=https://www.eoas.ubc.ca/books/Practical_Meteorology/prmet/PracticalMet_WholeBook-v1_00b.pdf| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170629033642/https://www.eoas.ubc.ca/books/Practical_Meteorology/prmet/PracticalMet_WholeBook-v1_00b.pdf | تاريخ أرشيف = 29 يونيو 2017 }}</ref>
تتغير [[كثافة الهواء]] وبالتالي يتغير [[ضغط جوي|الضغط الجوي]] بالارتفاع عن سطح [[بر|الأرض]]. ويمكن القول بالتقريب أن الضغط الجوي ينخفض بمعدل 1 هكتوباسكال (أي 100 [[باسكال (توضيح)|باسكال]]) كلما ارتفعنا 8 أمتار عن سطح الأرض.

== الصور الرياضية ==
=== صيغة الضغط ===
توجد معادلتان لحساب الضغط على ارتفاعات مختلفة (حتى 86 كم). تستعمل الأولى عندما لا يكون معدل انخفاض درجة الحرارة القياسية صفرا مع الارتفاع، بينما الثانية عندما نعتبر تغير درجة الحرارة بالارتفاع صفرا. (درجة الحرارة القياسية 15 [[درجة حرارة مئوية|درجة مئوية]] وتعادل 288 [[كلفن]]).

المعادلة الأولى:
:<math>P=P_b \cdot \left[\frac{T_b}{T_b + L_b\cdot(h-h_b)}\right]^\frac{g_0 \cdot M}{R^* \cdot L_b}</math>

المعادلة الثانية:
:<math>P=P_b \cdot e^ \left[\frac{-g_0 \cdot M \cdot (h-h_b)}{R^* \cdot T_b}\right]</math>

حيث
:<math>P_b\,</math> = الضغط الساكن (باسكال)
:<math>T_b\,</math> = الحرارة القياسية ([[كلفن]])
:<math>L_b\,</math> = معدل هبوط الحرارة القياسية (كلفن لكل متر)
:<math>h\,</math> = الارتفاع فوق مستوى سطح البحر (بالأمتار)
:<math>h_b\,</math> = الارتفاع في قاع الطبقة b (بالأمتار، مثلا, <math>h_1\,</math> = 11,000 متر)
:<math>R^*\,</math> = [[ثابت الغازات العام|ثابت الغاز]] للهواء: 8.31432 نيوتن·متر / (مول·كلفن)
:<math>g_0</math> = التسارع الأرضي (9.80665 م/ث²)
:<math>M</math> = كتلة هواء الأرض الجزيئية (0.0289644 كيلوغرام/مول)

* ملحوظة : المعادلة الأسية للأساس الطبيعي e تعادل [[معادلة أرهنيوس|معادلة أرينيوس]].

=== معادلات الكثافة ===
تشبه تعبيرات حساب الكثافة تلك المستخدمة في حساب الضغط إلى حد كبير والفرق الوحيد هو الأس في المعادلة الأولي.
المعادلة الأولى:
:<math>{\rho}=\rho_b \cdot \left[\frac{T_b}{T_b + L_b\cdot(h-h_b)}\right]^{\left(\frac{g_0 \cdot M}{R^* \cdot L_b}\right)+1}</math>

المعادلة الثانية:
:<math>{\rho}=\rho_b \cdot \exp\left[\frac{-g_0 \cdot M \cdot (h-h_b)}{R^* \cdot T_b}\right]</math>

حيث
:<math>{\rho}\,</math> = كثافة الكتلة (كغ/م³)
:<math>T\,</math> = الحرارة القياسية ([[كلفن]])
:<math>L_b\,</math> = معدل هبوط الحرارة القياسية (كلفن لكل متر)
:<math>h\,</math> = الارتفاع فوق مستوى سطح البحر (بالأمتار)
:<math>R^*\,</math> = [[ثابت الغازات العام|ثابت الغاز]] للهواء: 8.31432 نيوتن·متر / (مول·كلفن)
:<math>g_0</math> = التسارع الأرضي (9.80665 م/ث²)
:<math>M</math> = كتلة هواء الأرض الجزيئية (0.0289644 كيلوغرام/مول)

== تعيين دالة التغير ==
[[ملف:Veranschaulichung der hydrostatischen Grundgleichung.svg|تصغير|وحدة الحجم والقوى المؤثرة عليه من أعلى وأسفل.]]
نتخيل حجما dV من الهواء في شكل مكعب ذو ضلع طوله <math>A \,</math> يحتوي على هواء كثافته <math>\rho\,</math> ونتخيل تغير بسيط في الارتفاع مقداره <math>\mathrm{d}h\,</math>. تعمل على السطح من أسفل قوة الضغط الجوي p وتبلغ بالنسبة للمساحة المختارة <math>p \cdot A</math>.
وأما القوة المؤثرة على المساحة الأرضية للمكعب من أعلى فهي تتكون من القوة الناشئة عن وزن كمية الهواء في المكعب dm بالإضافة إلى ضغط الجو الماثل على المساحة من أعلى p+dp). A).

في حالة التوازن حيث لا يحدث تغير في حالة مكعب الهواء تحت النظر نحصل على معادلة القوى:

:<math>p \cdot A - \rho g \, \mathrm{d}h \cdot A - (p + \mathrm{d}p) \cdot A = 0</math>

<math>\mathrm{d}m \cdot g = \rho \, \mathrm{d}V \cdot g = \rho g \, \mathrm{d}h \cdot A</math>

<math>\mathrm{d}V = A \cdot \mathrm{d}h</math>

حيث g عجلة الجاذبية الأرضية (81 و9 متر /ثانية/ثانية).
وبتغيير طرفي المعادلة نحصل على:

:<math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = -\rho g</math>

وبمراعاة قانون الغازات في حالة الغاز المثالي، يمكننا كتابة كثافة الهواء <math>\rho</math> كالآتي:

<math>\rho = \frac{p M}{R T}</math>

فنحصل على:

{| <!-- äußere Tabelle für Abstand vom linken Rand -->
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|<math>\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = - \frac{p M g}{R T}</math>
|}
|}

''M'' كتلة مولية لغازات الجو (0,02896&nbsp;kg mol<sup>−1</sup>),

''R'' ثابت الغازات = 8,314&nbsp;J K<sup>−1</sup> mol<sup>−1</sup>

''T'' درجة الحرارة [[كلفن]]
  
تعطي هذه المعادلة كمية تغير الضغط <math>\mathrm{d}h</math> عندما يتغير الارتفاع تغيرا طفيفا <math>\mathrm{d}h</math>.وكما تبين علامة الناقص لتغير الضغط بالناقص عندما يزيد الارتفاع. أي ينقص الضغط بزيادة الارتفاع عن سطح الأرض. وبناء على ذلك يقل متوسط الضغط الجوي على مستوى البحر (<math>p</math> = 1013&nbsp;hPa) عند درجة حرارة 288 كلفن (15 درجة مئوية) بمقدار 12 و0 هكتوباسكال لكل متر نرتفعه، أي بمعدل 100 [[باسكال (توضيح)|باسكال]] لكل 3 و8 متر فرق للارتفاع.وعند الارتفاعات الكبيرة يقل كثافة الهواء كما تتغير درجة الحرارة بالارتفاع، فيقل معدل تغير الضغط بالارتفاع.

== اشتقاق تقريبي ==
بافتراض ثبات درجة الحرارة T ، واجراء التكامل في المعادلة السابقة نحصل على:

{|cellpadding="5"
|
|<math>\int_{p(h_0)}^{p(h_1)} \frac{\mathrm{d}p}{p} = - \frac{M g}{R T} \, \int_{h_0}^{h_1} \mathrm{d}h</math>
|-
|<math>\Leftrightarrow</math>
|<math>\ln\left(\frac{p(h_1)}{p(h_0)}\right) = - \frac{M g}{R T} (h_1 - h_0) =  - \frac{M g}{R T} \Delta h</math>
|-
|<math>\Leftrightarrow</math>
|<math>\frac{p(h_1)}{p(h_0)} = e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}</math>
|-
|<math>\Leftrightarrow</math>
|<math>p(h_1) = p(h_0) e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}</math>
|}

وباجراء التبسيط بواسطة ما يسمى مدرّج الارتفاع <math>h_s </math> نحصل على :
:: <math>h_s = \frac{RT}{Mg}</math>

{| <!-- äußere Tabelle für Abstand vom linken Rand -->
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|<math> p(h_1) = p(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}</math>
|}
|}

فكل زيادة للارتفاع بمقدار <math>h_s</math> يقل الضغط الجوي بمقدار <math>e \approx 2{,}7</math>. لهذا يعتبر مدرّج الارتفاع مقياس طبيعي للضغط الجوي وتغيره. وهو يبلغ في مثالنا الحالى عند درجة حرارة 15 مئوية 8.4 كيلومتر.
 
كما ينطبق ذلك على تغير كثافة الهواء بالارتفاع :
{| <!-- äußere Tabelle für Abstand vom linken Rand -->
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|<math> \rho(h_1) = \rho(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}</math>
|}
|}

حيث:

<math> \rho(h_0)\, </math> كثافة الهواء عند سطح البحر

<math> \rho(h_1)\, </math> كثافة الهواء عند العلو<math>h_1\, </math>.

== اقرأ أيضا ==

* [[معامل بولتزمان]]
* [[حركة براونية]]
* [[ضغط جوي]]
* [[مستشعر|المجسات]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|كيمياء فيزيائية|الفيزياء|الكيمياء|الفضاء}}

[[تصنيف:ضغط]]
[[تصنيف:غلاف جوي]]
[[تصنيف:فيزياء]]
[[تصنيف:كيمياء فيزيائية]]
[[تصنيف:الوضع الرأسي]]