عرض مصدر تساوي القوى

{{مقالة غير مراجعة|تاريخ = نوفمبر 2020}}
[[ملف:On_Off_-_Zał_Wył_(3086204137).jpg|تصغير| ''تشغيل'' / ''إيقاف'' الأزرار من القطار وجهة علامة لوحة التحكم. يعد الضغط ''على'' زر التشغيل (الأخضر) عملية غير فعالة ، حيث أن لها نفس التأثير سواء تم إجراؤها مرة واحدة أو عدة مرات. وبالمثل ، فإن الضغط على " ''إيقاف"'' يعتبر ضعيفًا.]]
'''تساوي القوى''' ({{IPAc-en|UK|,|ɪ|d|ɛ|m|ˈ|p|əʊ|t|ən|s}} ، {{IPAc-en|US|ˌ|aɪ|d|ə|m|-}}) هو خاصية لبعض [[عملية (رياضيات)|العمليات]] في [[رياضيات|الرياضيات]] و[[علم الحاسوب|علوم الكمبيوتر]] حيث أنها يمكن أن تكون مطبقة عدة مرات دون تغيير النتيجة بعد التطبيق الأولي. ينشأ مفهوم العاطفة في عدد من الأماكن في [[جبر مجرد|الجبر المجرد]] (على وجه الخصوص، في نظرية [[إسقاط (جبر خطي)|أجهزة العرض]] ومشغلي الإغلاق) [[برمجة وظيفية|والبرمجة الوظيفية]] (حيث يرتبط بخاصية [[شفافية مرجعية|الشفافية المرجعية]]).

تم تقديم المصطلح بواسطة [[بنجامين بيرس|Benjamin Peirce]] <ref>Polcino & Sehgal (2002), p. 127.</ref> في سياق عناصر الجبر التي تظل ثابتة عند رفعها إلى قوة عدد صحيح موجب، وتعني حرفيًا «(جودة امتلاك) نفس القوة»، من idem + ''[[wiktionary:potence|القدرة]]'' (نفس + قوة).

== تعريف ==
يقال إن العنصر ''x'' من [[ماغما (رياضيات)|الصهارة]] (''M'' ، •) يكون ''ضعيفًا'' إذا: <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Valenza|الأول=Robert|تاريخ=2012|عنوان=Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics|مسار=https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ|مكان=Berlin|ناشر=Springer Science & Business Media|صفحة=22|ISBN=9781461209010|اقتباس=An element ''s'' of a magma such that ''ss'' = ''s'' is called ''idempotent''.| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201127041530/https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ | تاريخ أرشيف = 27 نوفمبر 2020 }}</ref> <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Doneddu|الأول=Alfred|تاريخ=1976|عنوان=Polynômes et algèbre linéaire|مسار=https://books.google.com/books?id=5Ry7AAAAIAAJ|لغة=fr|مكان=Paris|ناشر=Vuibert|صفحة=180|ISBN=|اقتباس=Soit ''M'' un magma, noté multiplicativement. On nomme idempotent de ''M'' tout élément ''a'' de ''M'' tel que ''a''<sup>2</sup> = ''a''.| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20201127041546/https://books.google.com/books?id=5Ry7AAAAIAAJ | تاريخ أرشيف = 27 نوفمبر 2020 }}</ref>

: {{بدون لف|1=''x'' • ''x'' = ''x''}}.

إذا كانت جميع العناصر معطلة فيما يتعلق بـ • ، فعندئذ • يسمى idempotent. الصيغة ∀ ''x'' ، {{بدون لف|1=''x'' • ''x'' = ''x''}} تسمى قانون idempotency لـ •.<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=George Grätzer|عنوان=General Lattice Theory|مسار=https://archive.org/details/generallatticeth0000grat|مكان=Basel|ناشر=Birkhäuser|سنة=2003}} Here: Sect.1.2, p.5.</ref> <ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف1=Garrett Birkhoff|عنوان=Lattice Theory|مكان=Providence|ناشر=Am. Math. Soc.|سلسلة=Colloquium Publications|المجلد=25|سنة=1967}}. Here: Sect.I.5, p.8.</ref>

== أمثلة ==

* الرقم الطبيعي 1 هو عنصر فاعل فيما يتعلق [[ضرب|بالضرب]] (منذ 1 [[ضرب|×]] 1 = 1)، وكذلك هو 0 (منذ 0 × 0 = 0)، ولكن لا يوجد رقم طبيعي آخر (على سبيل المثال 2 × 2 = 2 لا يحمل). للسبب الأخير، فإن مضاعفة الأعداد الطبيعية ليست عملية عديمة الفاعلية. بشكل أكثر رسمية، في [[مونويد|أحادي]] [[عدد طبيعي|الصيغة]] ([[عدد طبيعي|ℕ]] ، ×)، تكون العناصر [[عدد طبيعي|المثالية]] 0 و 1 فقط.
* في [[ماغما (رياضيات)|الصهارة]] (''M'' ، •)، يكون [[عنصر محايد|عنصر الهوية]] ''e'' أو عنصر الامتصاص ''a'' ، إذا كان موجودًا، ضعيفًا. في الواقع، {{بدون لف|1=''e'' • ''e'' = ''e''}} و {{بدون لف|1=''a'' • ''a'' = ''a''}} .
* في [[زمرة (رياضيات)|المجموعة]] (''G'' ، •)، عنصر الهوية ''e'' هو العنصر الوحيد غير الفعال. في الواقع، إذا كانت ''x'' عنصرًا من ''G'' مثل {{بدون لف|1=''x'' • ''x'' = ''x''}} ، فإن {{بدون لف|1=''x'' • ''x'' = ''x'' • ''e''}} وأخيراً ''x'' = ''e'' بضربها على اليسار في [[عنصر معاكس|العنصر العكسي]] لـ ''x'' .
* يعتبر أخذ [[تقاطع (نظرية المجموعات)|التقاطع]] ''x'' [[تقاطع (نظرية المجموعات)|∩]] ''y'' لمجموعتين ''x'' و ''y'' عملية متكافئة، لأن ''x'' ∩ ''x'' يساوي دائمًا ''x'' . هذا يعني أن قانون القدرة المثالية ∀ ''x'' ، ''x'' ''x'' = ''x'' صحيح. وبالمثل، فإن أخذ اتحاد مجموعتين هو عملية غير فعالة. بشكل رسمي، في الأحاديات (𝒫 (''E'')، ∪) و (𝒫 (''E'')، ∩) لمجموعة [[مجموعة المجموعات الجزئية|الطاقة]] للمجموعة ''E'' مع [[اتحاد (نظرية المجموعات)|الاتحاد المحدد]] ∪ [[تقاطع (نظرية المجموعات)|وتقاطع المجموعة]] ∩ على التوالي، تكون جميع العناصر غير فعالة؛ ومن ثم فإن ∪ وهما عمليتان خاملتان على 𝒫 (''E'').
* في الأشكال الأحادية ({0، 1} ، ∨) و ({0، 1} ، ∧) للمجال المنطقي مع [[جبر بول|الفصل المنطقي]] ∨ [[جبر بول|والاقتران المنطقي]] ∧ على التوالي، تكون جميع العناصر عديمة الفعالية.
* في الحلقة المنطقية، يكون الضرب خاملاً.
* في شبه استوائية، تكون الإضافة معطلة.

=== وظائف عاطلة ===
في المونويد (''E <sup>E</sup>'' ، ∘) [[دالة|للوظائف]] من مجموعة ''E'' إلى نفسها مع [[تركيب الدوال|تكوين الوظيفة]] ∘ ، العناصر المثالية هي الوظائف {{بدون لف|''f'': ''E'' → ''E''}} بحيث أن {{بدون لف|1=''f'' ∘ ''f'' = ''f''}} ، بمعنى آخر مثل ذلك بالنسبة لجميع ''x'' في ''E'' ، {{بدون لف|1=''f''(''f''(''x'')) = ''f''(''x'')}} (صورة كل عنصر في ''E'' هي [[نقطة ثابتة (الرياضيات)|نقطة ثابتة]] من ''f''). فمثلا:

* إن أخذ [[قيمة مطلقة|القيمة]] ''المطلقة abs'' (''x'') <ref>A more common notation for this is <math>|x|</math>, but it is harder to read when expressions are nested.</ref> [[عدد صحيح|لعدد صحيح]] ''x'' هي دالة ذاتية للسبب التالي: ''abs'' (''abs'' (''x'')) = ''abs'' (''x'') صحيح لكل عدد صحيح ''x''.<ref>In fact, this equation holds for all [[عدد كسري|rational]]، [[عدد حقيقي|real]] and even [[عدد مركب|complex numbers]], too.</ref> هذا يعني أن ''abs'' [[تركيب الدوال|∘]] ''abs'' = ''abs'' <ref>This is an equation between functions. Two functions are equal if their domains and ranges agree, and their output values agree on their whole domain.</ref> يحمل، أي أن ''القيمة المطلقة'' عنصر ثابت في مجموعة جميع الوظائف (من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد الصحيحة) <ref>This set of functions is formally denoted as [[عدد صحيح|ℤ]]<sup>ℤ</sup>.</ref> فيما يتعلق بتكوين الوظيفة. لذلك، تفي ''القيمة المطلقة'' بالتعريف أعلاه لوظيفة قاصرة.

تشمل الأمثلة الأخرى:

* [[دالة مطابقة|وظيفة الهوية]] عاطلة؛
* الوظائف [[دالة ثابتة|الثابتة]] عاطلة؛
* وظائف [[دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى|الأرضية]] [[دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى|والسقف]] والجزء الكسري متقاربة؛
* تكون الوظيفة [[مجموعة مولدة لزمرة|المولدة]] للمجموعة [[مجموعة مولدة لزمرة|الفرعية]] من مجموعة الطاقة للمجموعة إلى نفسها غير فعالة؛
* وظيفة [[انغلاق محدب|البدن المحدبة]] من مجموعة الطاقة [[فضاء تآلفي|لمساحة أفينية]] فوق [[عدد حقيقي|الواقعية]] إلى نفسها غير فعالة؛
* وظائف [[غالق (طوبولوجيا)|الإغلاق]] [[داخل (طوبولوجيا)|والداخلية]] لمجموعة الطاقة [[فضاء طوبولوجي|للمساحة الطوبولوجية]] في حد ذاتها؛
* إن وظائف [[نجمة كلين|نجم]] [[نجمة كلين|كليين وكلين بالإضافة]] إلى مجموعة الطاقة الخاصة بالمونويد في حد ذاتها هي وظائف خاملة؛
* إن الأشكال الداخلية [[فضاء متجهي|للفضاء المتجه]] هي [[إسقاط (جبر خطي)|إسقاطاتها]].

إذا كانت مجموعة ''E'' ديه ''ن'' العناصر، فإننا يمكن تقسيمه إلى ''ك'' اختيار النقاط الثابتة {{بدون لف|''n'' − ''k''}} نقاط غير ثابتة تحت ''و،'' وبعد ذلك ''ك'' <sup>''ن'' - ''ك''</sup> هو عدد وظائف جامدة مختلفة. ومن ثم، مع مراعاة جميع الأقسام الممكنة،

: <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} k^{n-k}</math>

هو العدد الإجمالي للوظائف غير الفعالة الممكنة في المجموعة. يبدأ [[متتالية أعداد صحيحة|التسلسل الصحيح]] لعدد الدوال غير الفعالة كما هو موضح بالمجموع أعلاه لـ ''n'' = 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8... يبدأ بـ 1، 1، 3، 10، 41، 196، 1057، 6322، 41393... {{OEIS|A000248}} .

لا يتم الحفاظ على خاصية كونك عاطلاً ولا خاصية عدم القدرة في ظل تكوين الوظيفة.<ref>If ''f'' and ''g'' commute, i.e. if {{بدون لف|1=''f'' ∘ ''g'' = ''g'' ∘ ''f''}}, then idempotency of both ''f'' and ''g'' implies that of {{بدون لف|''f'' ∘ ''g''}}, since {{بدون لف|1=(''f'' ∘ ''g'') ∘ (''f'' ∘ ''g'') = (''f'' ∘ ''f'') ∘ (''g'' ∘ ''g'') = ''f'' ∘ ''g''}}, using the associativity of composition.</ref> كمثال للأول، {{بدون لف|1=''f''(''x'') = ''x''}} [[حسابيات معيارية|mod]] 3 و ''g'' (''x'') = max (''x'' ، 5) كلاهما غير {{بدون لف|''f'' ∘ ''g''}} ، لكن {{بدون لف|''f'' ∘ ''g''}} ليس كذلك، <ref>e.g. ''f''(''g''(7)) = ''f''(7) = 1, but ''f''(''g''(1)) = ''f''(5) = 2 ≠ 1</ref> على الرغم من أن {{بدون لف|''g'' ∘ ''f''}} يحدث.<ref>also showing that commutation of ''f'' and ''g'' is not a [[شرط ضروري وشرط كاف]] for idempotency preservation</ref> كمثال لهذا الأخير، فإن وظيفة النفي ¬ في المجال المنطقي ليست {{بدون لف|¬ ∘ ¬}} ، ولكن {{بدون لف|¬ ∘ ¬}} هي. وبالمثل، فإن النفي الأحادي {{بدون لف|−( )}} للأرقام الحقيقية ليس {{بدون لف|−( ) ∘ −( )}} ، ولكن {{بدون لف|−( ) ∘ −( )}} هو.

== معنى علوم الكمبيوتر ==
في [[علم الحاسوب|علوم الكمبيوتر]]، قد يكون لمصطلح تساوي القوى معنى مختلفًا اعتمادًا على السياق الذي يتم تطبيقه فيه:

* في [[برمجة أمرية|البرمجة الحتمية]]، يكون [[دالة (برمجة)|الروتين الفرعي]] ذو [[تأثير جانبي (علم الحاسوب)|الآثار الجانبية]] خاملاً إذا ظلت حالة النظام كما هي بعد مكالمة واحدة أو عدة مكالمات، بمعنى آخر إذا كانت الوظيفة من مساحة حالة النظام لنفسها المرتبطة بالروتين الفرعي معطلة بالمعنى الرياضي المعطى في تعريف؛
* في [[برمجة وظيفية|البرمجة الوظيفية]]، تكون الوظيفة الصرفة معطلة إذا كانت غير فعالة بالمعنى الرياضي الوارد في التعريف.

هذه خاصية مفيدة للغاية في العديد من المواقف، لأنها تعني أنه يمكن تكرار العملية أو إعادة المحاولة كلما لزم الأمر دون التسبب في تأثيرات غير مقصودة. مع العمليات غير النشطة، قد تضطر الخوارزمية إلى تتبع ما إذا كانت العملية قد أجريت بالفعل أم لا.

=== أمثلة في علوم الكمبيوتر ===
عادةً ما تكون الوظيفة التي تبحث عن اسم وعنوان العميل في [[قاعدة بيانات]] غير فعالة، لأن هذا لن يتسبب في تغيير قاعدة البيانات. وبالمثل، عادةً ما يكون تغيير عنوان العميل إلى XYZ غير فعال، لأن العنوان النهائي سيكون هو نفسه بغض النظر عن عدد مرات إرسال XYZ. ومع ذلك، فإن تقديم طلب للحصول على عربة تسوق للعميل لا يكون عديم الجدوى، لأن تشغيل المكالمة عدة مرات سيؤدي إلى تقديم العديد من الطلبات. يعد إلغاء الطلب غير صالح، لأن الطلب يظل ملغيًا بغض النظر عن عدد الطلبات المقدمة.

ومع ذلك، فإن تركيبة الطرق الخاملة أو الإجراءات الفرعية ليست بالضرورة معطلة إذا غيرت طريقة لاحقة في التسلسل قيمة تعتمد عليها طريقة سابقة - ''لا يتم إغلاق العاطفة في ظل التكوين'' . على سبيل المثال، لنفترض أن القيمة الأولية للمتغير هي 3 وهناك تسلسل يقرأ المتغير، ثم يغيره إلى 5، ثم يقرأه مرة أخرى. كل خطوة في التسلسل غير فعالة: كلا الخطوتين في قراءة المتغير ليس لهما آثار جانبية وتغيير متغير إلى 5 سيكون له نفس التأثير دائمًا بغض النظر عن عدد مرات تنفيذه. ومع ذلك، فإن تنفيذ التسلسل بالكامل مرة واحدة ينتج عنه الإخراج (3، 5)، ولكن تنفيذه مرة ثانية ينتج الناتج (5، 5)، وبالتالي فإن التسلسل ليس خاملاً.

في [[بروتوكول نقل النص الفائق|بروتوكول Hypertext Transfer Protocol]] (HTTP)، يعتبر تساوس القوى [[بروتوكول نقل النص الفائق|والأمان]] من السمات الرئيسية التي تفصل بين [[بروتوكول نقل النص الفائق|أفعال HTTP]] . من بين أفعال HTTP الرئيسية، يجب تنفيذ الحصول والوضع والحذف بطريقة خاملة وفقًا للمعيار، ولكن لا يلزم تنفيذ POST.<ref name="httpStd-methods">IETF, [[rfc:7231#section-4.2.2|Hypertext Transfer Protocol (HTTP/1.1): Semantics and Content]] {{استشهاد ويب |مسار=https://tools.ietf.org/html/rfc7231 |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=27 نوفمبر 2020 |تاريخ أرشيف=25 مايو 2017 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20170525004653/https://tools.ietf.org/html/rfc7231 |حالة المسار=bot: unknown }}. See also [[بروتوكول نقل النص الفائق|HyperText Transfer Protocol]].</ref> يسترجع GET موردًا؛ يخزن PUT المحتوى في مورد؛ وحذف يحذف مورد. كما في المثال أعلاه، قراءة البيانات ليس لها عادة أي آثار جانبية، لذلك فهي غير [[wiktionary:nullipotent|''فعالة'']] (في الواقع لا [[wiktionary:nullipotent|''تملك'']]). عادةً ما يكون تخزين وحذف مجموعة معينة من المحتوى غير فعال طالما أن الطلب يحدد موقعًا أو معرفًا يحدد هذا المورد بشكل فريد وهذا المورد فقط مرة أخرى في المستقبل. عمليات PUT و DELETE ذات المعرفات الفريدة تختزل إلى حالة التخصيص البسيطة إلى متغير غير قابل للتغيير إما بقيمة أو قيمة خالية، على التوالي، وتكون معطلة لنفس السبب؛ تكون النتيجة النهائية دائمًا هي نفسها نتيجة التنفيذ الأولي، حتى لو اختلفت الاستجابة.

عادة ما يؤدي انتهاك شرط التعريف الفريد في التخزين أو الحذف إلى انتهاك القدرة على العمل. على سبيل المثال، تخزين أو حذف مجموعة معينة من المحتوى دون تحديد معرّف فريد: طلبات POST ، التي لا تحتاج إلى أن تكون غير فعالة، غالبًا لا تحتوي على معرّفات فريدة، لذلك يتم تفويض إنشاء المعرّف إلى نظام الاستلام الذي ينشئ بعد ذلك رقم قياسي جديد مطابق. وبالمثل، قد تؤدي طلبات الوضع والحذف ذات المعايير غير المحددة إلى نتائج مختلفة اعتمادًا على حالة النظام - على سبيل المثال، طلب حذف أحدث سجل. في كل حالة، ستؤدي عمليات الإعدام اللاحقة إلى تعديل حالة النظام بشكل أكبر، لذا فهي ليست عديمة الفعالية.

في معالجة تدفق الأحداث، يشير تساوي القوى إلى قدرة النظام على إنتاج نفس النتيجة، حتى إذا تم استلام نفس الملف أو الحدث أو الرسالة أكثر من مرة.

في بنية تخزين التحميل، تكون التعليمات التي قد تتسبب في حدوث خطأ في الصفحة غير صحيحة. لذلك في حالة حدوث خطأ في الصفحة، يمكن لنظام التشغيل تحميل الصفحة من القرص ثم إعادة تنفيذ التعليمات المعيبة. في المعالج حيث لا تكون مثل هذه التعليمات عديمة الكفاءة، يكون التعامل مع أخطاء الصفحة أكثر تعقيدًا.<ref>
[[جون أوستورهوت]].
[https://web.stanford.edu/~ouster/cgi-bin/cs140-spring14/lecture.php?topic=paging "Demand Paging"]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200513114017/http://web.stanford.edu/~ouster/cgi-bin/cs140-spring14/lecture.php?topic=paging |date=13 مايو 2020}}</ref> <ref>
Marc A. de Kruijf.
[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.259.7708&rep=rep1&type=pdf "Compiler construction of idempotent regions and applications in architecture design"].
2012.
p. 10. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201127045113/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.259.7708&rep=rep1&type=pdf |date=27 نوفمبر 2020}}</ref>

عند إعادة تنسيق الإخراج، [[برتي برنت|من]] المتوقع أن تكون [[برتي برنت|الطباعة]] الجيدة غير فعالة. بعبارة أخرى، إذا كان الإخراج «جميلًا» بالفعل، فلا يجب أن تفعل شيئًا للطابعة الجميلة.{{بحاجة لمصدر|date=March 2017}}
<sup class="noprint Inline-Template Template-Fact" data-ve-ignore="true" style="white-space:nowrap;">&#x5B; ''[[ويكيبيديا:بحاجة لمصدر|<span title="This claim needs references to reliable sources. (March 2017)">بحاجة لمصدر</span>]]'' &#x5D;</sup>
في [[بنية خدمية|البنية الموجهة للخدمة]] (SOA)، يمكن إعادة عملية تنسيق متعددة الخطوات تتكون بالكامل من خطوات غير فعالة دون آثار جانبية في حالة فشل أي جزء من هذه العملية.

غالبًا ما يكون للعديد من العمليات غير الفعالة طرق «لاستئناف» عملية ما إذا تمت مقاطعتها - وهي طرق تنتهي بشكل أسرع بكثير من البدء من جديد من البداية. على سبيل المثال، [[رفع (شبكات)|استئناف نقل الملفات]]، ومزامنة الملفات، وإنشاء بنية برمجية، وتثبيت تطبيق وكل تبعياته مع [[نظام إدارة الحزم|مدير الحزم]]، إلخ.

== أمثلة تطبيقية ==
[[ملف:Colección_de_hombres_cruzando.JPG|تصغير| زر المشاة النموذجي هو مثال على نظام فاعل]]
تتضمن الأمثلة التطبيقية التي قد يواجهها العديد من الأشخاص في حياتهم اليومية أزرار اتصال [[مصعد|المصعد]] وأزرار [[معبر مشاة|المشاة]].<ref>https://web.archive.org/web/20110523081716/http://www.nclabor.com/elevator/geartrac.pdf For example, this design specification includes detailed algorithm for when elevator cars will respond to subsequent calls for service</ref> يؤدي التنشيط الأولي للزر إلى نقل النظام إلى حالة الطلب، حتى يتم تلبية الطلب. عمليات التنشيط اللاحقة للزر بين التنشيط الأولي والطلب المستوفى ليس لها أي تأثير، ما لم يكن النظام مصممًا لضبط الوقت لتلبية الطلب بناءً على عدد عمليات التنشيط.

== انظر أيضًا ==

* مجموعة بيورريد
* عامل الإغلاق
* [[نقطة ثابتة (الرياضيات)|النقطة الثابتة (رياضيات)]]
* غير قادر على الكود
* تحليل العاطل
* مصفوفة العاطلين
* علاقة الخمول — تعميم للجهد العاطفي للعلاقات الثنائية
* [[دالة ارتدادية|الالتفاف (رياضيات)]]
* وظيفة مكررة
* [[قائمة المصفوفات]]
* عديم القوة
* وظيفة نقية
* [[شفافية مرجعية|الشفافية المرجعية]]

== المراجع ==
{{مراجع|30em}}

== قراءة متعمقة ==

* " [[foldoc:idempotent|idempotent]] " في [[قاموس الحوسبة المجاني على الإنترنت|FOLDOC]]
* {{استشهاد|الأخير=Goodearl, K. R.|عنوان=von Neumann regular rings|طبعة=2|ناشر=Robert E. Krieger Publishing Co. Inc.|مكان=Malabar, FL|سنة=1991|صفحات=xviii+412|ISBN=978-0-89464-632-4|mr=1150975}}<bdi>{{استشهاد|الأخير=Goodearl, K. R.|عنوان=von Neumann regular rings|طبعة=2|ناشر=Robert E. Krieger Publishing Co. Inc.|مكان=Malabar, FL|سنة=1991|صفحات=xviii+412|ISBN=978-0-89464-632-4|mr=1150975}}</bdi> {{استشهاد|الأخير=Goodearl, K. R.|عنوان=von Neumann regular rings|طبعة=2|ناشر=Robert E. Krieger Publishing Co. Inc.|مكان=Malabar, FL|سنة=1991|صفحات=xviii+412|ISBN=978-0-89464-632-4|mr=1150975}}
* {{استشهاد|الأخير=Gunawardena|الأول=Jeremy|الفصل=An introduction to idempotency|zbl=0898.16032|محرر1-الأخير=Gunawardena|محرر1-الأول=Jeremy|عنوان=Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994|مكان=Cambridge|ناشر=[[مطبعة جامعة كامبريدج]]|صفحات=1–49|سنة=1998|مسار الفصل=http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf}}
* {{Springer|title=Idempotent}}
* {{استشهاد|الأخير=[[Hazewinkel, Michiel]]|الأخير2=Gubareni, Nadiya|الأخير3=Kirichenko, V. V.|عنوان=Algebras, rings and modules. vol. 1|سلسلة=Mathematics and its Applications|المجلد=575|ناشر=Kluwer Academic Publishers|مكان=Dordrecht|سنة=2004|صفحات=xii+380|ISBN=978-1-4020-2690-4|mr=2106764}}<bdi>{{استشهاد|الأخير=[[Hazewinkel, Michiel]]|الأخير2=Gubareni, Nadiya|الأخير3=Kirichenko, V. V.|عنوان=Algebras, rings and modules. vol. 1|سلسلة=Mathematics and its Applications|المجلد=575|ناشر=Kluwer Academic Publishers|مكان=Dordrecht|سنة=2004|صفحات=xii+380|ISBN=978-1-4020-2690-4|mr=2106764}}</bdi> {{استشهاد|الأخير=[[Hazewinkel, Michiel]]|الأخير2=Gubareni, Nadiya|الأخير3=Kirichenko, V. V.|عنوان=Algebras, rings and modules. vol. 1|سلسلة=Mathematics and its Applications|المجلد=575|ناشر=Kluwer Academic Publishers|مكان=Dordrecht|سنة=2004|صفحات=xii+380|ISBN=978-1-4020-2690-4|mr=2106764}}
* {{استشهاد|الأخير=Lam, T. Y.|عنوان=A first course in noncommutative rings|سلسلة=Graduate Texts in Mathematics|المجلد=131|طبعة=2|ناشر=Springer-Verlag|مكان=New York|سنة=2001|صفحات=xx+385|ISBN=978-0-387-95183-6|mr=1838439|DOI=10.1007/978-1-4419-8616-0}}<bdi>{{استشهاد|الأخير=Lam, T. Y.|عنوان=A first course in noncommutative rings|سلسلة=Graduate Texts in Mathematics|المجلد=131|طبعة=2|ناشر=Springer-Verlag|مكان=New York|سنة=2001|صفحات=xx+385|ISBN=978-0-387-95183-6|mr=1838439|DOI=10.1007/978-1-4419-8616-0}}</bdi> {{استشهاد|الأخير=Lam, T. Y.|عنوان=A first course in noncommutative rings|سلسلة=Graduate Texts in Mathematics|المجلد=131|طبعة=2|ناشر=Springer-Verlag|مكان=New York|سنة=2001|صفحات=xx+385|ISBN=978-0-387-95183-6|mr=1838439|DOI=10.1007/978-1-4419-8616-0}}
* Lang, Serge (1993)، الجبر (الطبعة الثالثة)، القراءة، ماس: أديسون ويسلي، ISBN <bdi>Lang, Serge</bdi> Lang, SergeZbl 0848.13001 ص.&nbsp;443
* بيرس، بنيامين. [http://www.math.harvard.edu/history/peirce_algebra/index.html ''الجبر''] الترابطي [http://www.math.harvard.edu/history/peirce_algebra/index.html ''الخطي''] 1870.
* {{استشهاد|الأخير=Polcino Milies, César|الأخير2=Sehgal, Sudarshan K.|عنوان=An introduction to group rings|سلسلة=Algebras and Applications|المجلد=1|ناشر=Kluwer Academic Publishers|مكان=Dordrecht|سنة=2002|صفحات=xii+371|ISBN=978-1-4020-0238-0|mr=1896125|DOI=10.1007/978-94-010-0405-3}}<bdi>{{استشهاد|الأخير=Polcino Milies, César|الأخير2=Sehgal, Sudarshan K.|عنوان=An introduction to group rings|سلسلة=Algebras and Applications|المجلد=1|ناشر=Kluwer Academic Publishers|مكان=Dordrecht|سنة=2002|صفحات=xii+371|ISBN=978-1-4020-0238-0|mr=1896125|DOI=10.1007/978-94-010-0405-3}}</bdi> {{استشهاد|الأخير=Polcino Milies, César|الأخير2=Sehgal, Sudarshan K.|عنوان=An introduction to group rings|سلسلة=Algebras and Applications|المجلد=1|ناشر=Kluwer Academic Publishers|مكان=Dordrecht|سنة=2002|صفحات=xii+371|ISBN=978-1-4020-0238-0|mr=1896125|DOI=10.1007/978-94-010-0405-3}}
{{شريط بوابات|جبر|رياضيات}}

[[تصنيف:جبر مجرد]]
[[تصنيف:علاقات رياضية]]
[[تصنيف:عمليات ثنائية]]
[[تصنيف:علم الحاسوب النظري]]