عرض مصدر تخمين فيرما كاتالان

{{يتيمة|تاريخ=فبراير 2023}}

في [[نظرية الأعداد]] '''تخمين فيرما كاتالان''' هو تعميم [[مبرهنة فيرما الأخيرة]] [[حدسية كاتالان]] ومن هنا جاء الاسم. ينص التخمين على أن [[معادلة رياضية|المعادلة]]{{مجموعة مرقمة|::|<math>a^m + b^n = c^k\quad</math>|{{EquationRef|1}}}}له عدد محدود من الحلول فقط ( ''a'',''b'',''c'',''m'',''n'',''k'' ) مع ثلاثة توائم متميزة من القيم ( ''a<sup>m</sup>'', ''b<sup>n</sup>'', ''c<sup>k</sup>'' ) حيث ''a'', ''b'', ''c'' هي أعداد صحيحة موجبة من نوع [[أولية نسبيا|اولية نسبيا]] و ''m'' ، ''n'' ، ''k'' هي ايجابية مرضية{{مجموعة مرقمة|::|<math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.</math>|{{EquationRef|2}}}}المتباينة في ''m'' و ''n'' و ''k'' جزء ضروري من التخمين. بدون المتباينة سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول على سبيل المثال مع ''k'' = 1 (لأي ''a'' و ''b'' و ''m'' و ''n'' ومع ''c'' = ''a'' <sup>''m''</sup> + ''b'' <sup>''n''</sup> ) أو مع ''m'' و ''n'' و ''k'' كلها تساوي اثنين ( [[ثلاثية فيثاغورس|لثلاثيات فيثاغورس]]).

اعتبارًا من [[2015|عام ٢٠١٥]] أصبحت الحلول العشرة التالية للمعادلة (1) التي تفي بمعايير المعادلة (2) معروفة: <ref name="pcm">{{استشهاد|الأول=Carl|الأخير=Pomerance|مؤلف-وصلة=Carl Pomerance|الفصل=Computational Number Theory|صفحات=361–362|عنوان=[[رفيق برينستون للرياضيات]]|محرر1-الأول=Timothy|محرر1-الأخير=Gowers|محرر1-وصلة=Timothy Gowers|محرر2-الأول=June|محرر2-الأخير=Barrow-Green|محرر3-الأول=Imre|محرر3-الأخير=Leader|محرر3-وصلة=Imre Leader|سنة=2008|ناشر=Princeton University Press|ISBN=978-0-691-11880-2}}.</ref>

: <math>1^m+2^3=3^2\;</math> (ل <math>m>6</math> لإرضاء المعادلة. 2)
: <math>2^5+7^2=3^4\;</math>
: <math>7^3+13^2=2^9\;</math>
: <math>2^7+17^3=71^2\;</math>
: <math>3^5+11^4=122^2\;</math>
: <math>33^8+1549034^2=15613^3\;</math>
: <math>1414^3+2213459^2=65^7\;</math>
: <math>9262^3+15312283^2=113^7\;</math>
: <math>17^7+76271^3=21063928^2\;</math>
: <math>43^8+96222^3=30042907^2\;</math>

أول معادلة هي (1<sup>''m''</sup> + 2<sup>3</sup> = 3<sup>2</sup> ) هو الحل الوحيد حيث يكون أحد''a'', ''b'' or ''c'' يكون 1. وفقًا [[حدسية كاتالان|للتخمين الكاتالوني]] ، الذي تم إثباته في عام ٢٠٠٢ بواسطة <nowiki><b>بريدا ميهيليسكو</b></nowiki> . بينما تؤدي هذه الحالة إلى عدد لا نهائي من الحلول لـ (1) (حيث يمكن للمرء اختيار ''m'' الى ''m'' > 6).

== نتائج جزئية ==
من المعروف من خلال نظرية دارمون-جرانفيل ، التي تستخدم <nowiki><b>مبرهنة فالتينجز</b></nowiki> أنه لأي اختيار ثابت للأعداد الصحيحة الموجبة ''م'' ، ''ن'' و ''ك'' مرضي (2).

تشير [[حدسية abc|حدسية abc إلى حدسية]] فيرمات - الكاتالونية. <ref>{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Mathematics in the 21st century
| مؤلف = Waldschmidt
| مؤلف1-الأول = Michel
| ناشر = Springer
| سنة = 2015
| المجلد = 98
| صفحات = 211–230
| مسار = http://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/abcLahoreProceedings.pdf
| سلسلة = Springer Proc. Math. Stat.
| مكان = Basel
| الفصل = Lecture on the <math>abc</math> conjecture and some of its consequences
| doi = 10.1007/978-3-0348-0859-0_13
| mr = 3298238
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20231203222213/https://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt//articles/pdf/abcLahoreProceedings.pdf|تاريخ أرشيف=2023-12-03}}</ref>

للحصول على قائمة بنتائج مجموعات الأس المستحيلة ، راجع حدس بيل # النتائج الجزئية . يكون تخمين بيل صحيحًا فقط إذا كانت جميع حلول فيرما كاتالان تحتوي على ''m'' = 2 أو ''n'' = 2 أو ''k'' = 2.

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:معادلات ديوفانتية]]
[[تصنيف:حدسيات رياضية]]