عرض مصدر تحدب

{{وصلات قليلة|تاريخ=يونيو 2020}}
[[ملف:Bond price.jpg|تصغير|200بك|يسار]]

في مجال [[تمويل|التمويل]] ، يعد '''تحدب السندات (Bond convexity)''' مقياسًا للعلاقة غير الخطية لأسعار [[سند (ورقة مالية)|السندات]] بالتغيرات في أسعار الفائدة ، والمشتق الثاني لسعر السند فيما يتعلق بأسعار الفائدة (المدة هي المشتق الأول). بشكل عام ، كلما زادت المدة ، كلما كان سعر السند أكثر حساسية للتغير في أسعار الفائدة. يعد تحدب السندات أحد أكثر أشكال التحدب الأساسية والمستخدمة على نطاق واسع في التمويل.<ref name=":0">Diller, Stanley (1991), Parametric Analysis of Fixed Income Securities, in Dattatreya, Ravi (ed.) Fixed Income Analytics: State-of-the-Art Debt Analysis and Valuation Modeling, Probus Publishing</ref>

== التعبير الرياضي ==
إذا كان سعر الفائدة العائم الثابت هو r وسعر السند هو B ، فإن التحدب C يتم تعريفه على أنه:

<math>C = \frac{1}{B} \frac{d^2\left(B(r)\right)}{dr^2}. </math>

هناك طريقة أخرى للتعبير عن C وهي من حيث المدة المعدلة D:

<math> \frac{d}{dr} B (r) = -DB</math>

و بالتالي,

<math>CB = \frac{d(-DB)}{dr} = (-D)(-DB) + \left(-\frac{dD}{dr}\right)(B)</math>

إذاً:

<math>C = D^2 - \frac{dD}{dr}</math>

حيث D هي مدة معدلة.

'''كيف تتغير مدة السند مع تغير سعر الفائدة؟'''

بالعودة إلى التعريف القياسي للمدة المعدلة:

<math> D = \frac {1}{1+r}\sum_{i=1}^{n}\frac {P(i)t(i)}{B} </math>

حيث P (i) هي القيمة الحالية للقسيمة i و t (i) هو تاريخ الدفع المستقبلي.

مع زيادة سعر الفائدة ، تنخفض القيمة الحالية للمدفوعات الأطول أجلاً فيما يتعلق بالقسائم السابقة (بواسطة عامل الخصم بين المدفوعات المبكرة والمتأخرة). ومع ذلك ، ينخفض سعر السند أيضًا عند زيادة سعر الفائدة ، ولكن التغييرات في القيمة الحالية لمجموع كل القسائم مضروبة في التوقيت (البسط في التجميع) تكون أكبر من التغييرات في سعر السند (المقام في التجميع). لذلك ، يجب أن تقلل الزيادات في r المدة (أو في حالة سندات القسيمة الصفرية ، اترك المدة غير المعدلة ثابتة). لاحظ أن المدة المعدلة D تختلف عن المدة العادية بالعامل الأول فوق 1 + r (كما هو موضح أعلاه) ، والذي يتناقص أيضًا مع زيادة r.

<math>\frac{dD}{dr} \leq 0</math>

بالنظر إلى العلاقة بين التحدب والمدة أعلاه ، يجب أن تكون التحدبات السندات التقليدية إيجابية دائمًا.

يمكن أيضًا إثبات إيجابية التحدب بشكل تحليلي بالنسبة لسندات أسعار الفائدة الأساسية. على سبيل المثال ، في ظل افتراض منحنى عائد ثابت ، يمكن للمرء أن يكتب قيمة السند الحامل للقسيمة على النحو التالي'''<math>\scriptstyle B (r)\ =\ \sum_{i=1}^{n} c_i e^{-r t_i} </math>'''، حيث ci تعني القسيمة المدفوعة في الوقت t (i) .

ومن السهل أن نرى:

<math>\frac{d^2B}{dr^2} = \sum_{i=1}^{n} c_i e^{-r t_i} t_i^2 \geq 0</math>

لاحظ أن هذا على العكس يدل على سلبية مشتق المدة عن طريق التفريق <math> dB / dr\ =\ -D B </math> .

== مراجع ==
{{مراجع|مراجع=}}
<references />
{{شريط بوابات|الاقتصاد|رياضيات}}

{{بذرة اقتصاد}}

[[تصنيف:مالية]]
[[تصنيف:هندسة محدبة]]