عرض مصدر المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل

{{بطاقة عامة}}
{{تفاضل وتكامل}}
[[ملف:Riemann.gif|تصغير|200بك|هذه الصورة توضح كيفية تقسيم السطح تحت المنحني إلى أجزاء مستطيلة لحساب مجموع الأجزاء.]]

'''النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل''' تربط بين عملتي [[تفاضل|التفاضل]] و[[تكامل|التكامل]].<ref>{{استشهاد بكتاب| الأخير=Gregory | الأول=James | عنوان=Geometriae Pars Universalis | مسار=https://archive.org/details/gregory_universalis | ناشر= Patavii: typis heredum Pauli Frambotti | سنة=1668 | مكان=[[Museo Galileo]] | مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200306144131/https://archive.org/details/gregory_universalis | تاريخ أرشيف = 6 مارس 2020 }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة| الأخير=Malet|الأول=Antoni|عنوان=James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions| ناشر=[[شبرينغر|سبرنجر]]|سنة=1993|صحيفة=[[Archive for History of Exact Sciences]]|doi=10.1007/BF00375656|اقتباس=Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137)}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب| الأخير1=Child | الأول1= James Mark | الأخير2=Barrow | الأول2=Isaac| عنوان= The Geometrical Lectures of Isaac Barrow | سنة=1916 | مسار=https://archive.org/details/geometricallectu00barruoft| ناشر= Chicago: [[Open Court Publishing Company]]| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20160805000007/https://archive.org/details/geometricallectu00barruoft | تاريخ أرشيف = 5 أغسطس 2016 }}</ref>

الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل.
الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد ل[[دالة]] باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية غير المحدودة كثرة. هذا الجزء من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياً لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.

== الصيغ الأساسية ==
تقول المبرهنة :
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
'''I'''.
<br/>
:لتكن ''f'' دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [''a'', ''b'']. إذا كانت ''F'' دالة معرفة للمتغير ''x'' ضمن المجال [''a'', ''b''] فإن

::<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt</math>

 عندئذ :

::<math>F'(x) = f(x)\,</math>
:من أجل كل قيمة ل ''x'' في (''a'', ''b'').

<br/>
'''II'''.
<br/>
:لتكن ''f'' [[دالة]] حقيقية معرفة على المجال المغلق [''a'', ''b'']. إذا كانت ''F'' دالة معرفة بحيث تحقق
::<math>f(x) = F'(x)\,</math> أيا كانت قيمة ''x'' ضمن المجال (''a'', ''b'')عندئذ :
::<math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>.
</blockquote>

[[ملف:Fundamental theorem of calculus (animation).gif|Формула Ньютона-Лейбница (анимация)]]

=== النتيجة ===

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
لتكن ''f'' دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [''a'', ''b'']. إذا كانت ''F'' دالة معرفة بحيث تحقق

:<math>f(x) = F'(x)\,</math> أيا كانت قيمة ''x'' ضمن المجال (''a'', ''b'')

عندئذ

:<math>F(x) = \int_a^x f(t) dt + F(a)</math>
و

:<math>f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt</math>.
</blockquote>

== مثال ==
لنحسب التكامل التالي:

: <math>\displaystyle\int_3^9 x^3\,\mathrm dx.</math>

هنا لدينا <math>f(x)=x^3</math>، أي يمكن استعمال <math>F(x)=\dfrac{x^4}{4}</math> ك[[مشتق عكسي]]. بالتالي:

: <math>\displaystyle\int_3^9 x^3\,\mathrm dx=F(9)-F(3)=\dfrac{9^4}{4}-\dfrac{3^4}{4}=\dfrac{6480}{4}=1620.</math>
== مراجع ==

{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{تحليل رياضي}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:تحليل رياضي]]
[[تصنيف:مبرهنات أساسية]]
[[تصنيف:مبرهنات في التحليل الحقيقي]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين]]