عرض مصدر الصور الديناميكية (ميكانيك كمي)

{{يتيمة|تاريخ =يوليو 2024}}
{{مقالة غير مراجعة|تاريخ =يوليو 2024}}
في [[ميكانيكا الكم]]، '''الصور الديناميكية''' (أو التمثيلات '''الديناميكية''') هي طرق متعددة مكافئة لصياغة ديناميات/ حركيات النظام الكمي رياضياً.

وأهم صورتين هما [[تصور هايزنبرغ|'''صورة هايزنبرج''']] وصورة [[تصور شرودنغر|'''شرودنجر''']]. وتختلف هاتين الطريقتين فقط بتغيير الأساس بالنسبة للاعتماد على الزمن، بطريقة مماثلة  ل<nowiki/>[[مواصفات لاغرانج وأويلير لمجال التدفق|مواصفات لاغرانج وأويلر لمجال التدفق]]: باختصار، يرتبط الاعتماد على الزمن [[حالة كمومية|بالحالات الكمومية]] في تمثيل شرودنغر [[مؤثر (فيزياء)|والمؤثرات]] في تمثيل هايزنبرغ.

هناك أيضاً صيغة وسيطة تُعرف باسم [[تصور التآثر|'''تمثيل التفاعل''']] (أو '''تمثيل ديراك''') والتي تكون مفيدة لإجراء العمليات الحسابية عندما تكون ل<nowiki/>[[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاميلتوني]] (معامل هاملتون≡ الطاقة الكلية) معقد إمكانية طبيعية لأن يتحلل إلى حدين: أحدهما هاميلتوني "حر" بسيط والحد الأخر عبارة عن [[نظرية الاضطراب (ميكانيكا الكم)|اضطراب]].

المعادلات التي تنطبق في أحد التمثيلين لا تنطبق بالضرورة على التمثيل الأخر، لأن التحويلات '''الواحدية''' المعتمدة على الزمن تربط المؤثرات في أحد التمثيلين بالمؤثرات المماثلة في التمثيل الأخر. لا توضح جميع الكتب الدراسية والمقالات التمثيل الذي يأتي منها كل مؤثر، مما قد يؤدي إلى الارتباك.

== تمثيل شرودنغر ==

=== خلفية ===
في ميكانيكا الكم، تُمثل [[حالة كمومية|حالة]] النظام الميكانيكي الكمي [[دالة موجية|بدالة موجية]] ذات قيمة معقدة/ مركبة {{تعبير رياضي|''ψ''(''x'', ''t'')}} . وبشكل تجريدي أكثر، يمكن تمثيل الحالة بمتجه حالة أو [[رمز براكيت|''كيت'']]، |''ψ''⟩. هذا الكيت هو عنصر في ''[[فضاء هيلبرت|فضاء هلبرت]]''، وهو فضاء متجهي يشمل كل الحالات الممكنة للنظام. [[مؤثر (فيزياء)|المؤثر]] الميكانيكي الكمي هو دالة تؤثر على كيت |ψ⟩ وتنتج كيت أخر |''ψ′''⟩.

تكمن الفروق بين تمثيل شرودنغر وتمثيل هايزنبرغ في كيفية التعامل مع الأنظمة التي تتغير زمنياً: طبيعة اعتماد النظام على الزمن يجب التعبير عنها بتركيبات معينة من متجهات الحالة والمؤثرات.

على سبيل المثال، يمكن أن يكون [[هزاز توافقي (ميكانيكا الكم)|المهتز التوافقي البسيط]] في حالة |''ψ''⟩، والتي تكون لها القيمة المتوقعة للزخم، أي <math>\langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle</math>''،'' متذبذبة جيبياً مع الزمن. يمكن للمرء أن يسأل: هل يجب أن ينعكس هذا التذبذب الجيبي على متجه الحالة |''ψ''⟩''،'' أو مؤثر الزخم <math>\hat{p}</math> أو كليهما؟ كل هذه الخيارات الثلاث صحيحة؛ الأول يعطي تمثيل شرودنغر والثاني تمثيل هايزنبرغ، والثالث تمثيل التفاعل أو تمثيل ديراك.

ويعد تمثيل شرودنغر مفيداً عند التعامل مع هاميلتوني {{Mvar|H}} لا يعتمد على الزمن، أي عندما، <math>\partial_tH=0 </math>.

=== مؤثر التطور الزمني ===

==== تعريف ====
يُعرف مؤثر التطور الزمني ''U''(''t'', ''t''<sub>0</sub>) على أنه المؤثر الذي يؤثر على كيت في الزمن ''t''<sub>0</sub> ليُنتج كيت في زمن آخر ''t'':

: <math> | \psi(t) \rangle = U(t,t_0) | \psi(t_0) \rangle.</math>

وبالنسبة ل[[رمز براكيت|برا]] ، سيكون لدينا بدلا من ذلك
: <math> \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,t_0).</math>

==== الخواص ====

===== الواحدية =====
يجب أن يكون مؤثر التطور الزمني واحدياً. وذلك لأننا نطالب بألا يتغير [[معيار (رياضيات)|معيار]] كيت الحالة مع مرور الزمن. أي أن،
: <math> \langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle = \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle.</math>

لذلك،
: <math> U^{\dagger}(t,t_0)U(t,t_0)=I.</math>

===== التطابق =====
عندما ''U'' ،''t''=''t''<sub>0</sub> هو [[دالة مطابقة|مؤثر]] [[دالة مطابقة|التطابق]]، لأن
: <math> | \psi(t_0) \rangle = U(t_0,t_0) | \psi(t_0) \rangle.</math>

===== الانغلاق =====
يمكن النظر إلى تطور الزمن من ''t''<sub>0</sub> إلى ''t'' على أنه تطور زمني من خطوتين، أولاً من ''t''<sub>0</sub> إلى زمن متوسط ''t''<sub>1</sub> ، ثم من ''t''<sub>1</sub> إلى الزمن النهائي ''t''. لذلك،
: <math> i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) = H U(t).</math>

==== المعادلة التفاضلية لمؤثر التطور الزمني ====
نسقط دليل ''t''<sub>0</sub> في عامل تطور الزمن مع التقليد المتبع بأن {{بدون لف|''t''<sub>0</sub> {{=}} 0}} ونكتبه ''U''(''t''). [[معادلة شرودنغر]] هي:
: <math> i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = H |\psi(t)\rangle,</math>
حيث ''H'' هو [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|الهاميلتوني]]. الآن باستخدام مؤثر التطور الزمني ''U'' لنكتب

<math>|\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle</math>،فيصبح لدينا:
: <math> i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) | \psi (0) \rangle = H U(t)| \psi (0)\rangle.</math>

ولان <math>|\psi(0)\rangle</math> هو كيت ثابت (كيت الحالة عند {{بدون لف|''t'' {{=}} 0}})، وبما أن المعادلة المذكورة أعلاه صحيحة لأي كيت ثابت في فضاء هيلبرت، يجب على مؤثر التطور الزمني أن يحقق المعادلة التالية

<math display="inline">i \hbar {\partial \over \partial t} U(t) = H U(t).</math>

إذا كان الهاملتوني مستقلاً عن الزمن، فإن حل المعادلة أعلاه هو <ref>هنا نستخدم حقيقة أنه عند t = 0، يجب أن تُختزل U(t) إلى مؤثر التطابق.</ref>

<math> U(t) = e^{-iHt / \hbar}.</math>

نظراً لأن ''H'' مؤثر فيجب حساب هذا التعبير الأسي من خلال [[متسلسلة تايلور]]:
:<math display="inline"> e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2}\left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots .</math>
:لذلك،
:<math display="inline">| \psi(t) \rangle = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rangle.</math>

لاحظ أن <math>|\psi(0)\rangle</math> هو كيت اعتباطي. ومع ذلك، إذا كانت الكيت الأبتدائي عبارة عن [[حالة كمومية|حالة ذاتية]] للهاميلتوني، و بقيمة ذاتية ''E''، نحصل على:
<math>| \psi(t) \rangle = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rangle.</math>

وهكذا نرى أن الحالات الذاتية للهاملتوني هي ''حالات مستقرة'': فهي تأخذ فقط عامل الطور الكلي أثناء تطورها مع مرور الزمن.

إذا كان الهاميلتوني يعتمد على الزمن، ولكنه يكون تبادلياً عند أزمنة مختلفة، فيمكن كتابة عامل تطور الزمن بالشكل:
<math display="inline"> U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right),</math>

إذا كان الهاميلتوني يعتمد على الزمن، ولكنه لايكون تبادلياً عند أزمنة مختلفة، فيمكن كتابة عامل تطور الزمن بالشكل:
: <math> U(t) = \mathrm{T}\exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right),</math>
حيث T هو مؤثر الترتيب الزمني، والذي يُعرف أحياناً باسم متسلسلة دايسون، نسبة إلى [[فريمان دايسون]].

البديل لصورة شرودنغر هو التحول إلى إطار مرجعي دوار، والذي هو نفسه يُدار بالمُنتشر. نظراً لأن الدوران المتموج يضطلع به الآن الإطار المرجعي نفسه، فإن دالة الحالة غير المضطربة تبدو ثابتة حقاً. وهذه هي صورة هايزنبرغ (أدناه).

== تمثيل هايزنبرج ==
تمثيل هايزنبرغ هي صياغة [[ميكانيكا الكم|لميكانيكا الكم]] (قدمها [[فيرنر هايزنبيرغ|فيرنر هايزنبرغ]] أثناء وجوده في [[هليغولاند|هيليغولاند]] في عشرينيات القرن العشرين) حيث تتضمن المؤثرات ( الخواص القابلة للرصد وغيرها) الاعتماد على الزمن، ولكن [[حالة كمومية|متجهات الحالة]] مستقلة عن الزمن.

=== تعريف ===
في تمثيل هايزنبرغ لميكانيكا الكم متجه الحالة، <math> |\psi \rang </math>، لا يتغير مع مرور الزمن، ويحقق المرصود ''A'' المعادلة التالية:{{Equation box 1
|indent =:
|equation =
<math>\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hbar}[H,A(t)]+\frac{\partial A(t)}{\partial t},</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F9FFF7}}
حيث ''H'' هو [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|الهاميلتوني]] ويدل مابين القوسين [•,•] على [[مبدل رياضي|تبادل]] مؤثرين (في هذه الحالة ''H'' و ''A''). أخذ القيم المتوقعة ينتج عنه [[مبرهنة إيهرينفيست|نظرية إهرنفست]] الواردة في [[مبدأ التطابق|مبدأ التقابل]].

وفقًا لنظرية ستون–فون نيومان، فإن تمثيل هايزنبرج وتمثيل شرودنغر متكافئان واحدياً. وإلى حد ما، يُعتبر تمثيل [[فيرنر هايزنبيرغ|هايزنبرج]] أكثر طبيعية وملاءمة من تمثيل شرودنغر المكافئ، خاصة بالنسبة للمعالجات [[نظرية النسبية|النسبية]]. تتجلى [[مقياس لورنتز|لامتغايرية لورنتز]] في تمثيل هايزنبرغ. هذا الاسلوب له أيضاً تشابه أوثق مع [[فيزياء تقليدية|الفيزياء الكلاسيكية]]: باستبدال المبادل أعلاه بقوس [[قوس بواسون|بواسون]]، تصبح '''معادلة هايزنبرغ''' معادلة في [[ميكانيكا هاملتوني|ميكانيكا هاملتون]].

=== اشتقاق معادلة هايزنبرغ ===
تُعطى [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] لـلمرصود ''A''، والذي هو [[تحويل خطي|مؤثر خطي]] [[قائمة المواضيع المنسوبة إلى شارل هيرميت|هرميتي]] لحالة معينة <math>|\psi(t)\rang </math>، بالشكل:<math display="block"> \lang A \rang _t = \lang \psi (t) | A | \psi(t) \rang.</math>في [[تصور شرودنغر|تمثيل شرودنجر]] ترتبط الحالة <math>|\psi\rang </math> عند الزمن ''t'' بالحالة <math>|\psi\rang </math> في الزمن 0 بواسطة [[تطور الزمن|مؤثر تطور الزمن]] الواحدي، <math>U(t)</math>: <math display="block"> |\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle.</math> إذا كان [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|الهاملتوني]] لا يتغير مع مرور الزمن، فيمكن كتابة عامل تطور الزمن كـما يلي:<math display="block"> U(t) = e^{-iHt / \hbar} ,</math>حيث ''H'' هو الهاميلتوني و ħ هو [[ثابت بلانك|ثابت بلانك المختزل]]. لذلك،<math display="block"> \lang A \rang _t = \lang \psi (0) | e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rang .</math>لنُعرف مايلي،<math display="block"> A(t) := e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar} .</math>فإنه ينتج أن:<math display="block">\begin{align}
 \frac{d}{dt} A(t) &= \frac{i}{\hbar} H e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar} + e^{iHt / \hbar} \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right) e^{-iHt / \hbar} + \frac{i}{\hbar} e^{iHt / \hbar} A \cdot (-H) e^{-iHt / \hbar} \\
 &= \frac{i}{\hbar} e^{iHt / \hbar} \left( H A - A H \right) e^{-iHt / \hbar} + e^{iHt / \hbar} \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right) e^{-iHt / \hbar} \\
 &= \frac{i}{\hbar} \left( H A(t) - A(t) H \right) + e^{iHt / \hbar} \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)e^{-iHt / \hbar} .
\end{align}</math>حيث استخدمنا الاشتقاق وفقاً [[قاعدة الضرب|لقاعدة الضرب]] ، بينما ''A''/∂''t∂'' هو المشتق الزمني للمرصود ''A'' الأبتدائي، وليس للمؤثر ''A''(''t'') المعرف. المعادلة الأخيرة صالحة لأن exp(− ''iHt'' / ''ħ'' ) يتبادل مع ''H''.

وهكذا <math display="block"> \frac{d}{dt} A(t) = \frac{i}{\hbar} [H, A(t)] + e^{iHt / \hbar} \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)e^{-iHt / \hbar} ,</math> ومن هنا تظهر معادلة هايزنبرغ للحركة أعلاه، حيث أن الاعتماد الوظيفي الحملي على ''x''(0) و ''p''(0) يتحول إلى ''نفس'' الاعتماد على ''x''(''t'')، ''p''(''t'')، بحيث يتحول الحد الأخيرإلى ''A(t)''/∂''t∂.''
[''X'',''Y''] هو [[مبدل رياضي|مبادل]] مؤثرين ويعرف على أنه {{تعبير رياضي|1=[''X'', ''Y''] := ''XY'' − ''YX''}} .

تُحل المعادلة باستخدام ''A''(''t'') المعرف أعلاه، كما هو واضح من خلال استخدام [[صيغة بيكر - كامبل - هاوسدورف|متطابقة المؤثر القياسية]]، <math display="block"> {e^B A e^{-B}} = A + [B,A] + \frac{1}{2!} [B,[B,A]] + \frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]] + \cdots .</math>التي تعني <math display="block"> A(t) = A + \frac{it}{\hbar}[H,A] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,A]] - \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,A]]] + \dots </math>تنطبق هذه العلاقة أيضاً على [[ميكانيكا تقليدية|الميكانيكا الكلاسيكية]]، [[حد كلاسيكي|الحد الكلاسيكي]] لما سبق، نظراً للتوافق بين [[قوس بواسون|أقواس بواسون]] [[مبدل رياضي|والمبدلات]]، <math display="block"> [A,H] \leftrightarrow  i\hbar\{A,H\} </math>
في الميكانيكا الكلاسيكية، بالنسبة لـ ''A'' مع عدم وجود اعتماد واضح على الزمن،<math display="block"> \{A,H\} = \frac{d}{dt}A \,, </math>
لذلك، مرة أخرى، التعبير عن ''A''(''t'') هو مفكوك تايلور حول ''t''= 0.

=== علاقات المبادلة ===
قد تبدو علاقات المبادل مختلفة عما كانت عليه في صورة شرودنغر، بسبب اعتماد المؤثرات على الزمن. على سبيل المثال، خذ المؤثرات {{تعبير رياضي|''x''(''t''<sub>1</sub>),''x''(''t''<sub>2</sub>),''p''(''t''<sub>1</sub>)}} و {{تعبير رياضي|   ''p''(''t''<sub>2</sub>)}}.
يعتمد التطور الزمني لهذه المؤثرات على هاملتون النظام. باعتبار المذبذب التوافقي أحادي البعد،
: ,<math>H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}}{2} </math>
يُعطى التطور الزمني لمؤثري الموضع والزخم بواسطة:
: ,<math>{d \over dt} x(t) = {i \over \hbar } [ H , x(t) ]=\frac {p}{m}</math>
: .<math>{d \over dt} p(t) = {i \over \hbar } [ H , p(t) ]= -m \omega^{2} x</math>
: باشتقاق المعادلتين مرة أخرى وحلهما بالشروط الأبتدائية المناسبة،
: <math>\dot{p}(0)=-m\omega^{2} x_0 ,</math>
:: <math>\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m} ,</math>
:: يؤدي إلي:
:: ,<math>x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{p_{0}}{\omega m}\sin(\omega t) </math> .<math>p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega\!x_{0}\sin(\omega t) </math>
:الحساب المباشر ينتج عنه علاقات مبادل أكثر عمومية،
:,<math>[x(t_{1}), x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1}) </math>
:,<math>[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1}) </math>
:.<math>[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1}) </math>
:وعند <math>t_{1}=t_{2}</math> ، يستعيد المرء ببساطة علاقات التبديل القياسية الصالحة في جميع الصور.
:

== تمثيل التفاعل ==
يكون تمثيل التفاعل مفيداً للغاية عندما يكون من الممكن حل تطور المرصودات بدقة، وحصر أي تعقيدات في تطور الحالات. لهذا السبب، يُسمى هاملتوني المرصودات اسم "هاميلتوني حر" ويسمى هاميلتوني الحالات "هاملتوني التفاعل".

=== تعريف ===

ترتبط المؤثرات ومتجهات الحالة في صورة التفاعل بتغير في الأساس ([[التحول الوحدوي|التحويل الواحدي]]) لنفس تلك المؤثرات ومتجهات الحالة في صورة شرودنغر.

للتحول إلى تمثيل التفاعل نقسم [[هاملتوني (ميكانيكا الكم)|هاملتوني]] تمثيل شرودنغر إلى جزئين،
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>H_\text{S} = H_{0,\text{S}} + H_{1,\text{S}}.</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
أي اختيار ممكن للأجزاء سيؤدي إلى تمثيل تفاعل مقبول؛ ولكن لكي يكون تمثيل التفاعل مفيداً في تبسيط تحليل المسألة، عادةً ما تُختار الأجزاء بحيث يكون <math>H_{0,S}</math> مفهوماً جيداً وقابل للحل تماما، في حين يحتوي <math>H_{1,S}</math> على بعض الاضطرابات التي يصعب تحليلها لهذا النظام.

إذا كان لدى الهاملتوني ''اعتماد واضح على الزمن'' (على سبيل المثال، إذا تفاعل النظام الكمي مع مجال كهربائي خارجي مسلط يتغير بمرور الزمن)، فسيكون من المفيد عادةً تضمين الحدود المعتمدة بشكل صريح على الزمن مع <math>H_{1,S}</math>، مما يجعل <math>H_{0,S}</math> مستقل عن الزمن. ونُتابع بناء على هذا الافتراض. إذا ''كان هناك'' سياق يكون من المنطقي فيه أن يعتمد <math>H_{0,S}</math>على الزمن، فإنه يجوز للمرء المتابعة باالتعويض عن <math>e^{\pm i H_{0,S} t/\hbar}</math> [[تصور شرودنغر|بمؤثر التطور الزمني]] المناظر في التعريفات أدناه.

==== متجهات الحالة ====
يُعرف متجه الحالة في صورة التفاعل على أنه
<ref>[http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mechII/lectures/lecture_21/node2.html تمثيل التفاعل]، مذكرات محاضرات عبر الإنترنت من جامعة نيويورك (مارك تاكرمان) {{Webarchive|url=https://archive.today/20120805124324/http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mechII/lectures/lecture_21/node2.html|date=2012-08-05}}</ref>
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> | \psi_{I}(t) \rangle = e^{i H_{0, S} t / \hbar} | \psi_{S}(t) \rangle ~,</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}
حيث أن
<math>| \psi_{S}(t) \rangle </math> هو نفس متجه الحالة كما في تمثيل شرودنغر.
==== المؤثرات ====
يُعرف المؤثر في تمثيل التفاعل بأنه:{{Equation box 1|border|indent=:|equation=<math>A_{I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} A_{S}(t) e^{-i H_{0,S} t / \hbar}.</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|bgcolor=#F9FFF7}}
لاحظ أن <math>A_S(t)</math> لن يعتمد عادةً على ''t''، ويمكن إعادة كتابته بالشكل <math>A_S</math> . فهو يعتمد فقط على ''t'' إذا كان لدى المؤثر"اعتماد صريح على الزمن"، على سبيل المثال بسبب اعتماده على مجال كهربائي مُسَلْط خارجي متغير مع الزمن.

==== المؤثر الهاميلتوني ====

بالنسبة للمؤثر <math>H_0</math> بذاته، يتطابق تمثيل التفاعل مع تمثيل شرودنغر،
:<math>H_{0,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{0,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar} = H_{0,S} .</math>
ويمكن رؤية ذلك بسهولة من خلال حقيقة أن المؤثرات [[عملية تبديلية|تتبادل]] مع دوال فيها قابلة للاشتقاق. ومن ثم يمكن تسمية هذا المؤثر بالتحديد بـ ''H''<sub>0</sub> دون أي غموض.

ومع ذلك، بالنسبة لهاملتوني الاضطراب ''H''<sub>1,''I''</sub>، فان:
:<math>H_{1,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{1,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar} ,</math>
:حيث يصبح هاميلتوني اضطراب تمثيل التفاعل معتمداً على الزمن - ما لم يكن، 0 =[''H''<sub>1,s</sub>, ''H''<sub>0,s</sub>].
:من الممكن أيضاً الحصول على تمثيل التفاعل لـهاميلتوني ''H''<sub>0,s</sub>(''t'') معتمد على الزمن، ولكن يجب استبدال الأسس بالمنتشر الواحدي للتطور المتولد عن ''H''<sub>0,s</sub>(''t'') أو بشكل أوضح مع تكامل أسي مرتب زمنياً.

===== مصفوفة الكثافة =====

يمكن إثبات أن [[مصفوفة الكثافة]] تتحول إلى تمثيل التفاعل بنفس طريقة أي مؤثر آخر. على وجه الخصوص، لتكن <math>\rho_I</math> و <math>\rho_S</math> تعبر عن مصفوفة الكثافة في تمثيل التفاعل وتمثيل شرودنجر على التوالي. إذا كان هناك احتمال <math>p_n</math> أن تكون في الحالة الفيزيائية <math>|\psi_n\rang</math>، فإن:

:<math>\rho_I(t) = \sum_n p_n(t) |\psi_{n,I}(t)\rang \lang \psi_{n,I}(t)| = \sum_n p_n(t) e^{i H_{0, S} t / \hbar}|\psi_{n,S}(t)\rang \lang \psi_{n,S}(t)|e^{-i H_{0, S} t / \hbar}  = e^{i H_{0, S} t / \hbar} \rho_S(t) e^{-i H_{0, S} t / \hbar}.</math>
=== معادلات التطور الزمني ===
==== الحالات ====

تحويل [[معادلة شرودنغر]] إلى تمثيل التفاعل يعطي:

:<math> i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang = H_{1, I}(t) | \psi_{I} (t) \rang. </math>

يشار إلى هذه المعادلة باسم '''معادلة [[جوليان شفينجر|شوينجر]]-[[شينيتشيرو توموناغا|توموناجا]]'''.

==== المؤثرات ====

اذا كان المؤثر <math>A_{S}</math> مستقل زمنياً (أي ليس لديه "اعتماد واضح على الزمن"؛ انظر أعلاه)، فإن التطور الزمني المناظر ل <math>A_I(t)</math> يُعطى من خلال:

:<math> i\hbar\frac{d}{dt}A_I(t)=\left[A_I(t),H_0\right].\;</math>
:في تمثيل التفاعل، تتطور المؤثرات بمرور الزمن مثل المؤثرات في [[تصور هايزنبرغ|تمثيل]] [[تصور هايزنبرغ|هايزنبرج]] مع الهاملتوني <math>H'=H_0</math> .

==== مصفوفة الكثافة ====
إن تحويل معادلة شوينغر-توموناغا إلى لغة [[مصفوفة الكثافة]] (أو ما يعادله، تحويل [[مصفوفة الكثافة|معادلة فون نيومان]] إلى تمثيل التفاعل) يعطي:

<math>i\hbar \frac{d}{dt} \psi_I(t) = \left[ H_{1,I}(t), \psi_I(t)\right].</math>

=== الوجود ===

تمثيل التفاعل ليس موجود دائماً. في نظريات المجال الكمي التفاعلي، تنص [[نظرية هاج]] على أن تمثيل التفاعل غير موجود. وذلك لأن الهاملتوني لا يمكن تقسيمه إلى جزء حر ومتفاعل ضمن قطاع الاختيار الفائق. علاوة على ذلك، حتى لو كان الهاملتوني في تمثيل شرودنغر لا يعتمد على الزمن، على سبيل المثال {{تعبير رياضي|''H'' {{=}} ''H''<sub>0</sub> + ''V''}} ، فإنه يفعل ذلك في تمثيل التفاعل، على الأقل، إذا لم يتبادل {{تعبير رياضي|''V''}} مع {{تعبير رياضي|''H''<sub>0</sub>}} ، لأن:
:.<math>H_{\rm int}(t)\equiv e^{{(i/\hbar})tH_0}\,V\,e^{{(-i/\hbar})tH_0}</math>

== مقارنة التمثيلات ==
تمثيل هايزنبرغ هو الأقرب إلى ميكانيكا هاملتون الكلاسيكية (على سبيل المثال، المبادلات التي تظهر في المعادلات المذكورة أعلاه تناظر مباشرة [[قوس بواسون|أقواس بواسون]] الكلاسيكية). من السهل تصور تمثيل شرودنجر، وهي الصيغة المفضلة في النصوص التمهيدية، بالنسبة لدوران متجهات الحالة في [[فضاء هيلبرت]]، رغم أنها تفتقر إلى التعميم الطبيعي لأنظمة لورنتز اللامتغايرة. تعتبر صورة ديراك مفيدة للغاية في نظرية الاضطراب غير المستقر والمتغاير، لذا فهي مناسبة [[نظرية الحقل الكمومي|لنظرية المجال الكمي]] [[مسألة الأجسام المتعددة|وفيزياء الأجسام المتعددة]].

=== مقارنة موجزة للتطورات ===

{| class="wikitable" style="padding:0.3em; clear:right; margin:1em auto; text-align:center;"
| rowspan=2 style="background-color:#E0FFEE;" | تطور:
| colspan=3 style="background-color:#E0FFEE;" | [[مستخدم:Nadhem2/الصور الديناميكية (فيزياء الكم)|تمثيل]] ({{وصلات قالب|Pictures in quantum mechanics|mini=y}})
|-----
| style="background-color:#E0F0FF;" | [[تصور شرودنغر|شرودنغر]] (S)
| style="background-color:#E0F0FF;" | [[تصور هايزنبرغ|هايزنبرغ]] (H)
| style="background-color:#E0F0FF;" | '''[[تصور التآثر|التفاعل]]''' (I)
|-----
| style="background-color:#D0FFDD;" | [[رمز براكيت|متجه حالة (كيت)]]
| <math> | \psi_{\rm S}(t) \rang = e^{-i H_{\rm S} ~t / \hbar} | \psi_{\rm S}(0) \rang </math>
| ثابت
| <math> | \psi_{\rm I}(t) \rang = e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar} | \psi_{\rm S}(t) \rang </math>
|-----
| style="background-color:#D0FFDD;" | [[Observable|مرصود]]
| ثابت
| <math>A_{\rm H} (t)=e^{i H_{\rm S}~ t / \hbar} A_{\rm S} e^{-i H_{\rm S}~ t / \hbar}</math>
| <math>A_{\rm I} (t)=e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar} A_{\rm S} e^{-i H_{0, \mathrm{S}}~ t / \hbar} </math>
|-----
| style="background-color:#D0FFDD;" | [[مصفوفة الكثافة]]
| <math>\rho_{\rm S} (t)=  e^{-i H_{ \rm S} ~t / \hbar} \rho_{\rm S}(0) e^{i H_{\rm  S}~ t / \hbar} </math>
| ثابت
| <math>\rho_{\rm I} (t)=e^{i H_{0, \mathrm{S}} ~t / \hbar}  \rho_{\rm S} (t) e^{-i H_{0, \mathrm{S}}~ t / \hbar}</math>
|-----
|}
<noinclude>
</noinclude>

=== التكافؤ ===
ومن الواضح أن القيم المتوقعة لجميع الكميات والخواص الفيزيائية المرصودة تكون متساوية في تمثيل شرودنغر وهايزنبرغ والتفاعل،

: <math>\langle\psi\mid A(t)\mid\psi\rangle=\langle\psi(t)\mid A\mid\psi(t)\rangle   =\langle\psi_I(t)\mid A_I(t)\mid\psi_I(t)\rangle ~,         </math>

كما ينبغي عليها أن تكون.

== أنظر أيضا ==

* [[معادلة هاملتون-جاكوبي|معادلة هاميلتون جاكوبي]]
* [[رمز براكيت|رموز ديراك]]

== ملاحظات ==
{{مراجع}}

== References ==
* {{استشهاد بكتاب|مؤلف=Cohen-Tannoudji|الأول=Claude|عنوان=Quantum Mechanics (Volume One)|ناشر=Wiley|سنة=1977|مكان=Paris|صفحات=312–314|مؤلف-وصلة=Claude Cohen-Tannoudji|مؤلف2=Bernard Diu|مؤلف3=Frank Laloe|isbn=0-471-16433-X}}
* Albert Messiah, 1966. ''Quantum Mechanics'' (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
* [[يوجين ميرتسباخر|Merzbacher E.]], ''Quantum Mechanics'' (3rd ed., John Wiley 1998) p.&nbsp;430-1 {{ردمك|0-471-88702-1}}
* {{استشهاد بكتاب|مؤلف=[[ليف لانداو|L.D. Landau]]، [[يفغيني ليفشتز|E.M. Lifshitz]]|عنوان=Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory|ناشر=[[مطبعة بيرغامون]]|سنة=1977|طبعة=3rd|المجلد=3|isbn=978-0-08-020940-1}} [[iarchive:QuantumMechanics 104|Online copy]]
* R. Shankar (1994); ''Principles of Quantum Mechanics'', Plenum Press, {{ردمك|978-0306447907}} .
* [[جون ساكوراي|J. J. Sakurai]] (1993); ''Modern Quantum Mechanics'' (Revised Edition), {{ردمك|978-0201539295}} .

== روابط خارجية ==

* [http://www.quantumfieldtheory.info المُعينات التعليمية لنظرية المجال الكمي] انقر على الرابط الخاص بالفصل.2 لتجد مقدمة شاملة ومبسطة لصورة هايزنبرغ.

{{ميكانيكا الكم}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|ميكانيكا الكم}}

[[تصنيف:ميكانيكا الكم]]