عرض مصدر الجبر

{{عن|3=الجبر (توضيح)}}
{{عن|3=جبر (توضيح)}}
{{بطاقة تخصص
|صورة=1983_CPA_5426.jpg
|تعليق=العالم [[الإسلام|المسلم]] [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]] مؤسس «علم الجبر»
}}
'''الجَبْر''' هو فرع من علم [[رياضيات|الرياضيات]] وجاء اسم الجبر من كتاب عالم الرياضيات و[[علم الفلك|الفلكي]] والرحالة [[محمد بن موسى الخوارزمي]] ('''[[كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة|الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة]]''') الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية. والكلمة (الجبر) مأخوذة من [[اللغة العربية]]، ومعنى '''علم الجبر''' في قاموس المعاني: (فَرْعٌ مِنَ الرِّيَاضِيَّاتِ يَقُومُ عَلَى إِحْلاَلِ الرُّمُوزِ مَحَلَّ الأَعْدَادِ المجْهُولَةِ أَوِ الْمَعْلُومَةِ).<ref>معنى علم الجبر في قاموس المعاني http://www.almaany.com/ar/dict/ar-ar/جبر/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200319065808/https://www.almaany.com/ar/dict/ar-ar/جبر/|date=2020-03-19}}</ref>[https://books.google.com.ly/books?id=dsNTDwAAQBAJ&lpg=PA42&dq=%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9%20%D9%85%D9%86%20%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%B1%D8%AC%D8%A9%20%D8%A7%D9%84%D8%A3%D9%88%D9%84%D9%89&hl=ar&pg=PA39#v=onepage&q=%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9%]<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=الرياضيات للعلوم الاقتصادية والإدارية|مسار=https://books.google.com.ly/books?id=dsNTDwAAQBAJ&lpg=PA42&dq=%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9%20%D9%85%D9%86%20%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%B1%D8%AC%D8%A9%20%D8%A7%D9%84%D8%A3%D9%88%D9%84%D9%89&hl=ar&pg=PA39#v=onepage&q=%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9%20%D9%85%D9%86%20%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%B1%D8%AC%D8%A9%20%D8%A7%D9%84%D8%A3%D9%88%D9%84%D9%89&f=false|ناشر=دار الأكاديميون للنشر والتوزيع|تاريخ=2014-03-01|ISBN=9789957449070|لغة=ar|الأول=د سليمان ابو|الأخير=صبحا| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200126111723/https://books.google.com.ly/books?id=dsNTDwAAQBAJ&lpg=PA42&dq=معادلة%20من%20الدرجة%20الأولى&hl=ar&pg=PA39 | تاريخ أرشيف = 26 يناير 2020 }}</ref>

ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في [[رياضيات|الرياضيات]] إضافة إلى [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]] و[[تحليل رياضي|التحليل الرياضي]] و[[نظرية الأعداد]] و[[تبديل (رياضيات)|التباديل]] و[[توفيق (رياضيات)|التوافيق]]. ويهتم هذا العلم بدراسة [[بنية جبرية|البنى الجبرية]] و[[تماثل (رياضيات)|التماثلات]] بينها، والعلاقات و[[كمية|الكميات]].

والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو [[جبر ابتدائي|الجبر الابتدائي]]. فهو لا يتعامل مع [[رقم|الأرقام]] فحسب، بل يصوغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصوغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=الجبر|مسار= https://books.google.com.ly/books?id=aK9TDwAAQBAJ&lpg=PA6&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%A8%D8%B1%20%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%A8%D8%AA%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D9%8A&hl=ar&pg=PA5#v=onepage&q&f=false|ناشر=Al Manhal|تاريخ=2009-01-01|ISBN=9796500139340|لغة=ar|الأول=عادل نسيم|الأخير=أديب|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200126050352/https://books.google.com.ly/books?id=aK9TDwAAQBAJ&lpg=PA6&dq=%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%A8%D8%B1%20%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%A8%D8%AA%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D9%8A&hl=ar&pg=PA5#v=onepage&q&f=false|تاريخ أرشيف=2020-01-26}}</ref>

== الفرق بين معاني الجبر ==

يوجد لذلك الوصف نفس الاختلاف:
* بدون المادة. تعني جزء من علم الجبر، مثل الجبر الخطي، الجبر الابتدائي (قواعد معالجة-الرموز التي تدرس في مناهج الرياضيات كجزء من التعليم الأساسي والتعليم الثانوي) أو الجبر المجرد (دراسة الهياكل الجبرية مع المادة).
* فهذا يعني إنه مثيل لبعض التراكيب المجردة، مثل جبر تبادلي أو الجبر الترابطي.
* كما هو الحال في الجملة: الجبر التبادلي هو دراسة الحلقات، الحلقات التبادلية، التي تعرف كلها بالجبر التبادلي على الأعداد الصحيحة.

مصطلح ''علم الجبر'' أحياناً يستخدم للدلالة على عمليات وأساليب جبرية بينما الهيكل أو البنية الأساسية لها لا تتعلق بعلم الجبر. على سبيل المثال، الجبر هو سلسلة لا نهائية من الممكن أن تدل على سلسلة من الأساليب الحاسوبية دون استخدام مفاهيم لا نهائية من الجمع، الحدود والتقارب. الصفة «جبري» عادة تعني ما يتعلق بالجبر، كما في [[بنية جبرية|الهيكل الجبري]]. ولأسباب تاريخية، قد تعني أيضاً العلاقة [[جذر نوني|بجذور معادلات متعددة الحدود]]، كما في ال[[عدد جبري]]، والامتداد جبري أو [[جبر مجرد|التعبير جبري]]

== علم الجبر كأحد فروع علم الرياضيات ==
إن أهم ما يُعرف به علم الجبر هو تشابه عملياته [[حسابيات|الحسابية]] بالعمليات الحسابية البسيطة، إلا أن الفرق أنه يتضمن متغيرات رياضية غير معروفة القيمة. هذه المتغيرات تمثّل أرقامًا لم تُعرف بعد (مجهولة) أو أرقامًا غير محددة (متغير أو مُعامل)،<ref name="ReferenceA">(Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258) "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebramade use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."</ref> مما يسمح للفرد أن يُثبت صحة هذه الخصائص بغض النظر عن الأرقام محل النظر. مثلًا في هذه المعادلة التربيعية التالية:

''أ س <sup>2</sup> + ب س + ج = 0''

''أ وَ ب وَ ج'' مجاهيل وَ ''س'' مُعامل. وحل هذه المعادلة يتطلب حساب المجاهيل والتعبير عن قيمة المُعامل حساب علاقته بالمجاهيل، وبهذا يتم إعطاء حل للمعادلة المعينة بعد القيام بعمليةٍ حسابية بسيطة.

كما تطور علم الجبر فقد توسع إلى أشياء أخرى غير عددية، مثل [[فضاء متجهي|المتجهات]] و[[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] أو [[متعددة الحدود]]. ثم تم تلخيص الخصائص الهيكلية لهذه الأشياء غير العددية لتحديد [[بنية جبرية|الهياكل الجبرية]] مثل [[زمرة (رياضيات)|المجموعات]]، و[[حلقة (رياضيات)|دوائر]] و[[حقل (رياضيات)|الحقول]] والجبر.
قبل القرن السادس عشر، تم تقسيم الرياضيات إلى قسمين فرعيين فقط هما [[حسابيات|الحساب]] و[[هندسة رياضية|الهندسة]]. على الرغم من بعض الأساليب التي وضعت في وقت قبل ذلك بكثير، ويمكن النظر لها في الوقت الحاضر كالجبر فإن ظهور الجبر بعد ذلك بوقت قصير، وحساب [[تفاضل وتكامل|التفاضل والتكامل]] كحقول فرعية صغيرة للرياضيات يعود فقط للقرن 16 أو 17. أو من النصف الثاني من القرن 19 على الأقل، ظهرت العديد من المجالات الجديدة للرياضيات، وبعضها شملت علم الجبر، إما كلياً أو جزئياً.

ويتبع ذلك أن الجبر بدلاً من أن يكون فرعاً من فروع الرياضيات، أصبح هذه الأيام مجموعة من فروع طرق المشاركة الشائعة. وهذا يُرى بشكل واضح في تصنيف مواضيع الرياضيات<ref>
[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html 2010 Mathematics Subject Classification] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171017051428/http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html |date=17 أكتوبر 2017}}</ref> حيث ولا واحد من مناطق المستويات الأولى (مدخلات الأعداد الثنائية) تسمى الجبر. في الحقيقة الجبر على وجه التقريب، هو اتحاد أقسام 08-أنظمة الجبر العامة و12- نظرية [[حقل (رياضيات)|الحقول]] و[[متعددة الحدود|متعددات الحدود]] و 13- [[جبر تبادلي|الجبر التبادلي]] و 15-[[جبر خطي|الجبر الخطي]] و[[جبر متعدد الخطية|المتعدد الخطي]]؛ نظرية [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] و 16-الحلقات الترابطية والجبر و 17-الحلقات الغير ترابطية والجبر و18- [[نظرية الفئة|نظرية التصنيف]] [[جبر تماثلي|الجبر التماثلي]] و19-نظرية كاي و20- [[نظرية الزمر|نظرية المجموعة]]. بعض مناطق المستوى الأول ربما تعتبر أنها تنتمي إلى الجبر بشكل جزئي مثل 11-[[نظرية الأعداد]] (بشكل عام لنظرية العدد الجبري) و 14-[[هندسة جبرية|الهندسة الجبرية]].

الجبر الابتدائي هو جزء من الجبر الذي عادة يدرس في الصفوف الأولية للرياضيات. الجبر المجرد هو اسم يعطى عادة لدراسة مؤسسي الجبر أنفسهم.

== تاريخ ==
بداية الجبر كمجال من الرياضيات قد تكون بدايتها في نهاية القرن السادس عشر، مع عمل [[فرانسوا فييت]]. ومع ذلك يمكن اعتبار بعض الأعمال في وقت سابق بأنها الجبر وتعتبر عهد ما قبل التاريخ من علم الجبر.

=== عصور ما قبل التاريخ من الجبر ===
[[ملف:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|تصغير|الصفحة الأولى من [[كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة|الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة]] {{ل|خوارزمي}}]]

يمكن تتبع جذور علم الجبر إلى قدماء [[الرياضيات في بلاد الرافدين|البابليين]]<ref>[[Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|رقم دولي معياري للكتاب]] [[0-486-60255-</ref>، الذين طوروا نظاماً حسابياً متقدماً كان قادراً على القيام بعمليات حسابية بطريقة [[خوارزمية]]. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تُحل عادةً اليوم باستخدام [[معادلة خطية|المعادلات الخطية]] و[[معادلة تربيعية|المعادلات التربيعية]] والمعادلات الخطية غير المحددة. وعلى النقيض من ذلك، فإن معظم [[الرياضيات في مصر القديمة|المصريين]] في ذلك العصر، وكذلك بالرياضيات اليونانية و[[الرياضيات في الصين|الصينية]] في [[ألفية 1 ق.م|الألفية الأولى قبل الميلاد]]، تحل عادةً مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في [[بردية ريند الرياضية]] و[[الأصول (كتاب)|أصول أقليدس]] والفصول التسعة في الفن الرياضي. وفر العمل الهندسي لليونانيين، متميزاً بالعناصر، إطاراً لتعميم الصيغ ما وراء حل مسائل معينة إلى أنظمة أكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم من أن هذا لم يلاحظ حتى تطورت [[الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية|الرياضيات في العصور الوسطى من الإسلام]].<ref>Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (Second Edition ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7</ref>

خضعت الرياضيات الإغريقية لتغير جذري في عصر [[أفلاطون]]. أنشأ [[اليونان القديمة|الإغريق]] الجبر الهندسي حيث مثلت المصطلحات من جوانب الأشكال الهندسية، وكما جرت العادة بالخطوط التي كانت تحتوي على حروف مرتبطة بها.<ref name="ReferenceA"/> [[ديوفانتوس الإسكندري]] (القرن الثالث ميلادي)، يسمى أحياناً «والد الجبر»، كان عالم رياضيات إغريقياً [[الإسكندرية|إسكندريا]] ومؤلف سلسلة من الكتب تسمى ارثميتكا.تبحث كتبه في حل [[معادلة جبرية|المعادلات الجبرية]].<ref>
[[فلوريان كاجوري]] (2010).[ A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teachinghttp://books.google.com.sa/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq=&hl=ar#v=onepage&q=&f=false]. p. 34. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|رقم دولي معياري للكتاب]] [[1-4460-2221-8]] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140913200404/http://books.google.com.sa/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq=&hl=ar#v=onepage&q=&f=false |date=13 سبتمبر 2014}}</ref>
تأتي كلمة الجبر من اللغة العربية (الجبر بمعنى الترميم أو الاستعادة) وكما تأتي الكثير من أساليبها من الرياضيات العربية/ الإسلامية. أثرت التقاليد التي نوقشت في أعلاه بشكل مباشر على [[محمد بن موسى الخوارزمي]] (عام 780-850). لاحقاً، ألف [[كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة]]، الذي أنشأ علم الجبر كتخصص رياضيات مستقل عن [[هندسة رياضية|الهندسة]] وعلم الحساب.<ref>
[[Roshdi Rashed (November 2009). Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra. [[Saqi Books]]. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|رقم دولي معياري للكتاب]] [[0-86356-430-5</ref>

أكمل عالما الرياضيات [[عصر هلنستي|الهيلينستيان]] [[هيرو السكندري]] و[[ديوفانتوس الإسكندري|ديوفانتس]]<ref>[https://gitso-outage.oracle.com/thinkquest Diophantus, Father of Algebra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171209102713/https://gitso-outage.oracle.com/thinkquest |date=09 ديسمبر 2017}}</ref> مثلهم مثل العلماء [[الرياضيات في الهند القديمة|الهنود في الرياضيات]] ك[[براهماغوبتا]] تعاليم المصريين والبابليين على الرغم من اعتبار كتابي أرثمتكا لديفانتوس والسيد هانتالبراهماغوبتا بمستوى أعلى.<ref>[https://www.algebra.com/algebra/about/history/ History of Algebra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181003052340/https://www.algebra.com/algebra/about/history/ |date=03 أكتوبر 2018}}</ref> فعلى سبيل المثال، تم وصف حل أول مسألة حسابية كاملة (مشتملة الصفر والقيمة السالبة) إلى المعادلات التربيعية من قبل براهماغوبتا في كتابه [[السندهند|سيندهانتا]]. لاحقاً طور الرياضيون العرب والمسلمون طرق جبر تصل مستويات عليا من الدقة والإتقان. وعلى الرغم من أن ديفانتوس والبابليون استخدموا معظم الطرق الخاصة في حل المعادلات، كان لمساهمة الخوارزمي السبق الأساسي بذلك. فلقد حل الخوارزمي المعادلات الخطية والتربيعية بدون الحاجة لرمزية الجبر والأعداد السالبة أو الصفر، ومن ثم قام بتمييز العديد من [[معادلة تربيعية|المعادلات التربيعية]].<ref>Josef W. Meri (2004).[https://books.google.com.sa/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Medieval Islamic Civilisation]. Psychology Press. p. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Retrieved 25 November 2012. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140913193113/http://books.google.com.sa/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31&redir_esc=y|date=13 سبتمبر 2014}}</ref>
عُرف عالم الرياضيات [[يونانيون|الاغريقي]] [[ديوفانتوس الإسكندري|ديوفانتوس]] تاريخياً بلقب «والد الجبر»، ولكن برزت في الآونة الأخيرة نقاشات كثيرة حول ما إذا كان الخوارزمي (مؤسس علم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلاً عن ديوفانتوس.<ref>[[Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. pp. 178, 181. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|رقم دولي معياري للكتاب]] [[0-471-54397-7.</ref> حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس إلى حقيقة أن علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي أكثر بدائية مقارنة بالموجود في "أريثميتيكا"، وأن "أريثميتيكا" يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماماً.<ref>[[Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). Wiley. p. 228. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|رقم دولي معياري للكتاب]] [[0-471-54397-7.</ref> في حين يشير مؤيدي الخوارزمي إلى حقيقة أنه أدخل منهجية "التبسيط" و"الموازنة" (نقل التعابير السالبة إلى الجانب الآخر من المعادلة، أو بعبارة أخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا أطراف المعادلة) وهي المنهجية المعبر عنها في الأصل بكلمة "الجبر"<ref>(Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the wordmuqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."</ref>، كما أنه أعطى شرحاً مفصلاً عن حل المعادلات التربيعية<ref>(Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."</ref>، مدعماً بالبراهين الهندسية، بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته.<ref>Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".</ref> كما أن "جبر" الخوارزمي ليس معني "بسلسلة من [[مشكلة|المسائل]] الرياضية التي يجب حلها، بل بعرضٍ يبدأ بتعابير بدائية، تعطي تركيباتهم جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الآن فصاعداً، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي". درس الخوارزمي أيضاً المعادلة لذاتها و"بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسألة، بل باستخدامها خصيصاً لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.<ref>[[Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. [[Springer]]. pp. 11–2. [[النظام القياسي الدولي لترقيم الكتب|رقم دولي معياري للكتاب]] [[0-7923-2565-6]].[[مركز المكتبة الرقمية على الإنترنت]] [[29181926</ref>

نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي [[عمر الخيام]] في تحديد أسس [[هندسة جبرية|الهندسة الجبرية]] وإيجاد الحل الهندسي العام [[دالة تكعيبية|للمعادلة التكعيبية]]. كما أوجد عالم رياضيات فارسي آخر يدعى [[شرف الدين الطوسي]] مجموعة من الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية<ref>[[O'Connor, John J.; Robertson, [[Edmund F]]., [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Sharaf/ Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi], [[تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات]],[[University of St Andrews. {{استشهاد بويب|مسار=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Sharaf.html |عنوان=نسخة مؤرشفة |تاريخ الوصول=13 سبتمبر 2014 |تاريخ أرشيف=25 نوفمبر 2009 |مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20091125142817/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Sharaf.html |حالة المسار=bot: unknown }}</ref>، بالإضافة إلى أنه طور مفهوم [[دالة|الدوال]].<ref>Victor J. Katz, Bill Barton; Barton, Bill (October 2007). "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching". Educational Studies in Mathematics (Springer Netherlands) 66 (2): 185–201 [192]. doi:10.1007/s10649-006-9023-7</ref> علماء الرياضيات الهنديان مهافيرا وبهاسكارا الثاني، والفارسي [[معروف الكرخي|الكرخي]]

<ref>(Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239) "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer.... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis!... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered),"</ref>، والصيني تشو شي جيه، قاموا بإيجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة و[[دالة خماسية|الخامسة]]، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة التكعيبية من قبل [[ليوناردو فيبوناتشي]] بداية النهضة في علم الجبر في أوروبا، في حين أخذ العالم الإسلامي في التراجع لصالح العالم الأوربي الذي نهض في مجال تطوير علم الجبر.

=== تاريخ الجبر ===

يمثل عمل [[فرانسوا فييت]] في نهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكية لعلم الجبر. في عام 1637م نشر [[رينيه ديكارت]] كتاب علم الهندسة مخترعاً بذلك [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]] وقدم المناهج الجبرية الحديثة. كان الحل الجبري العام لمعادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة الذي تم وضعها في منتصف القرن السادس عشر، حدث رئيسي آخر في تطور علم الجبر. وُضِعت فكرة [[محدد (رياضيات)|المحددات]] من قبل عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي في القرن السابع عشر الميلادي، تبع ذلك بشكل مستقل عالم الرياضيات [[غوتفريد لايبنتس]] بعد عشر سنوات، وذلك بهدف حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات. عمل [[غابرييل كرامر]]خلال القرن الثامن عشر على [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] والمحددات. قام العالم [[جوزيف لوي لاغرانج]] بدراسة التباديل في منشورته المكونة من 1770 صفحة باسم «تأملات حول الحلول الجبرية للمعادلات» المكرسة لحلول المعادلات الجبرية، والتي قدم من خلالها معادلات لاجرانج. كان [[باولو روفيني]] أول شخص يضع نظرية [[زمرة تبديلات|زمر التباديل]]، ومثل أسلافه كانت نظريته أيضاً في سياق حل المعادلات الجبرية.

تم تطوير علم [[جبر مجرد|الجبر المجرد]] في القرن التاسع عشر الميلادي، مستمداً من الرغبة في حل المعادلات، مركزاً في البداية على ما يسمى حالياً ب[[نظرية غالوا]] وعلى المسائل [[عدد قابل للإنشاء|الإنشائية]]. [19]للجبر الحديث جذور عميقة من العمل والدراسة تصل للقرن التاسع عشر الميلادي، مثل أعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind وليوبلد كرونكر. كما يرتبط بفروع الرياضيات الأخرى مثل نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية.<ref>"[https://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html The Origins of Abstract Algebra]". University of Hawaii Mathematics Department. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171224061736/http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html |date=24 ديسمبر 2017}}</ref> كان جورج بيكوك هو من أسس التفكير البديهي في علم الحساب والجبر. اكتشف [[أغسطس دي مورغان|أوغست دو مورغان]] جبر العلاقات في كتابه منهج النظام المقترح للمنطق، ووضع [[جوزيه غيبس]] جبر المتجهات في وسط ثلاثي الأبعاد، كما طور [[آرثر كيلي]] جبر المصفوفات (وهو جبر غير تبادلي).<ref>"[https://www.cambridge.org/sa/academic/subjects/mathematics/historical-mathematical-texts/collected-mathematical-papers-volume-12?format=PB The Collected Mathematical Papers]".Cambridge University Press. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160306030941/http://www.cambridge.org/sa/academic/subjects/mathematics/historical-mathematical-texts/collected-mathematical-papers-volume-12?format=PB |date=06 مارس 2016}}</ref>

== المجالات التي تحتوي على كلمة ''الجبر'' ==

مجالات الرياضيات:
* [[جبر ابتدائي|الجبر الابتدائي]]، جزء من الجبر الذي عادة ما يتم تدريسه في مقررات الرياضيات الابتدائية.
* [[جبر مجرد|الجبر المجرد]]، فيه [[بنية جبرية|بنية الهياكل الجبرية]] مثل [[زمرة (رياضيات)|الزمر]]، والحلقات والحقول التي تم تعريفها والتحقق منها بديهياً.
* [[جبر خطي|الجبر الخطي]]، والذي يتم دراسة خصائص محددة من [[معادلة خطية|المعادلات الخطية]]، و[[فضاء متجهي|فضاء المتجهات]] و[[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]].
* [[جبر تبادلي|الجبر التبادلي]]، دراسة [[حلقة تبادلية|الحلقات التبادلية]]
* [[حساب رمزي|الجبر الكمبيوتر]]، تنفيذ أساليب جبرية [[خوارزمية|كالخوارزميات]] و[[برنامج (حاسوب)|برامج الكمبيوتر]].
* [[جبر تماثلي|الجبر التماثلي]]، دراسة الهياكل الجبرية التي تعتبر أساسية لدراسة [[فضاء طوبولوجي|الفضاء الطوبولوجي]].
* [[جبر شامل|الجبر الشامل]]، الذي يتم فيها دراسة الخصائص المشتركة بين جميع الهياكل الجبرية.
* [[نظرية الأعداد الجبرية|النظرية الجبرية للأعداد]]، حيث يتم دراسة خصائص الأعداد من وجهة نظر جبرية.
* [[هندسة جبرية|الهندسة الجبرية]]، وهي فرع من الهندسة، في شكل بدائي لتحديد المنحنيات والسطوح من قبل حلول المعادلات عديدة الحدود.
* التوافيق الجبرية، تستخدم أساليب جبرية لدراسة مسائل التوافيق

العديد من البنى الرياضية تسمى ''بالجبر'' :
* الجبر المجرد أو بشكل أعم ال[[جبر على حقل]]

يشمل الجبر التجريدي أو الجبر على حقل العديد من الأنواع:
* الجبر التجميعي
* الجبر غير التجميعي
* جبر لاي
* [[جبر هوبف]]
* جبر النجمي سي
* جبر التناظر
* الجبر الخارجي
* [[جبر الموترات]]
* في نظرية [[قياس (رياضيات)|القياس]]:
* جبر سيجما
* الجبر على مجموعة
* في [[نظرية الفئة|نظرية الفئات]]
* في ال[[المنطق|منطق]]:
* جبر العلاقات، حيث تكون المجموعة محدودة العلاقة مغلقة تحت عمليات معينة.
* [[جبر بول]]ياني، بناء يلخص الحساب مع [[قيمة صواب|القيم الحقيقية]] الخاطئة والصحيحة
* جبر هيتنج

== الجبر الابتدائي ==

''المقال الرئيسي: [[جبر ابتدائي|الجبر الابتدائي]]''
[[ملف:Algebraic equation notation.svg|تصغير|مجموعة عبارات جبرية:
1- القوة (الأس).
2- معامل.
3- المدى.
4- المشغل.
5- الحد الثابت.
x y c - المتغيرات / الثوابت.]]

'''الجبر الابتدائي''' هو أبسط شكل من الجبر. يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض ألا يكون لديهم علم بال[[رياضيات]] أكثر من المبادئ الأساسية لعلم الحساب. تحدث في علم الحساب و[[عدد|الأرقام]] فقط وعملياتهم الحسابية (: مثل +، -، ×، ÷). في الجبر، وغالباً ما تدل الأرقام عن طريق [[متغير (رياضيات)|الرموز]] (: مثل A، N، X، Y أو Z). وهذا مفيد للأسباب التالية:
* يتيح للصياغة عامة للقوانين الحسابية (: مثل أ + ب = ب + أ لجميع أ وب)، وهو الخطوة الأولى لاستكشاف منهجي للخصائص نظام [[عدد حقيقي|العدد الحقيقي]].
* يتيح للإشارة إلى أرقام «غير معروف»، وصياغة [[معادلة رياضية|المعادلات]] ودراسة كيفية حل هذه. (على سبيل المثال، «العثور على عدد x بحيث 3X + 1 = 10» أو الذهاب أبعد قليلا «العثور على عدد x مثل الفأس + ب = ج.» هذه الخطوة تؤدي إلى الاستنتاج أنه ليس من هذا النوع من أرقام محددة تسمح لنا لحلها، هذا الهدف من العمليات المعنية.)
* يتيح الفرصة لصياغة العلاقات الوظيفية. (على سبيل المثال، «إذا كنت تبيع تذاكر X، ثم الربح الخاص بك سيكون 3X - 10 دولار، أو F (X) = 3X - 10، حيث f هي وظيفة، وx هو رقم لجميع والتي يتم تطبيقه على وظيفة».)

=== كثيرات الحدود ===

[[ملف:Polynomialdeg3.svg|تصغير|[[تمثيل الدالة البياني|الرسم البياني]] لوظبفة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة..]]

''المقال الرئيسي: [[متعددة الحدود|كثيرات الحدود]]''

'''كثيرات الحدود''' هي [[عبارة (رياضيات)|تركيب جبري]] (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من [[حد (رياضيات)|الحدود الجبرية]] (الأطراف) الغير صفرية، كل من هذه الحدود يتألف من حاصل ضرب عدد ثابت وعدد نهائي من المتغيرات المرفوعة لأس عدد صحيح. على سبيل المثال س<sup>2</sup> + 2س - 3 هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن إعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية والترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -1) (س + 3) تعبر عن كثيرة حدود، ولكن إذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود، أو على نحو مكافئ، من خلال التركيب الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.

هنالك اثنان من المشاكل المهمة والمتعلقة بالجبر، وهي: 1) تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل أولية، أي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود أخرى لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أبسط. 2) حساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور أعلاه لكثيرة الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل أولية كالتالي: (س - 1) (س + 3). فئة من المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية [[جذر دالة|لجذور كثيرات الحدود]] في متغير واحد.

=== تعليم الجبر ===

''انظر أيضاً: [[تعليم الرياضيات]]''

اقترح تدريس الجبر الابتدائي للطلاب ابتداء من عمر الحادية عشر،<ref>"Hull's Algebra https://query.nytimes.com/mem/page.html?res=9E0DE5DA123AE733A25755C1A9619C946597D6CF&legacy=true&status=nf]" (pdf). New York Times. July 16, 1904. Retrieved September 21, 2012]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170827003835/http://query.nytimes.com/mem/archive-free/pdf?res=9E0DE5DA123AE733A25755C1A9619C946597D6CF |date=27 أغسطس 2017}}</ref> على الرغم من أنه في السنوات الأخيرة من الشائع أن تبدأ الدروس العامة للجبر في الولايات المتحدة في مستوى الصف الثامن (≈ 13 عاما ±).<ref>Quaid, Libby (September 22, 2008). "[Kids misplaced in algebra https://usatoday30.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm]" (Report). [[أسوشيتد برس]]. Retrieved September 23, 2012. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160915062221/http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm |date=15 سبتمبر 2016}}</ref>

منذ عام 1997 بدأت [[جامعة فيرجينيا للتقنية]] وبعض الجامعات الأخرى في استخدام نموذج مخصص في تدريس الجبر والذي يجمع بين النتائج وردود الفعل الفورية من برامج الحاسوب المتخصصة مع تعليم (واحد لواحد) ومجموعات دراسية مصغرة، الأمر الذي خفض التكاليف وزاد معدل إنجازات الطلاب.<ref>Hamilton, Reeve (7 September 2012). "[THE TEXAS TRIBUNE; U.T.-Arlington Adopts New Way to Tackle Algebra https://www.nytimes.com/2012/09/07/us/ut-arlington-adopts-new-way-to-tackle-algebra.html?_r=0]". The New York Times. Retrieved 10 September 2012. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170926142851/http://www.nytimes.com/2012/09/07/us/ut-arlington-adopts-new-way-to-tackle-algebra.html?_r=0 |date=26 سبتمبر 2017}}</ref>

== الجبر المجرد ==

''المقالات الرئيسية: [[جبر مجرد|الجبر المجرد]] و[[بنية جبرية|الهيكلة الجبرية]]''

'''الجبر المجرد''' يستمد المبادئ المشابهة في الجبر الابتدائي والجبر [[حسابيات|الحسابي]] [[عدد|للأرقام]] لمفاهيم أكثر عموماً. هنا قائمة من المفاهيم الأساسية المدرجة في الجبر المجرد.

'''[[مجموعة (رياضيات)|المجموعات]]''': بدلاً من مجرد التعامل مع أنواع مختلفة من الأرقام، الجبر المجرد يتعامل مع مفاهيم أكثر عموميةً من المجموعات: مجموعة من كل المكونات (تسمى [[عنصر (رياضيات)|العناصر]]) المحددة بخاصية معينة للمجموعة. كافة المجموعات من الأنواع المتشابهة من ارقام هي مجموعة. أمثلة أخرى على مجموعات كمجموعة [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] المعكوسة (2*2)، كافة المجموعات [[متعددة الحدود]] من الدرجة الثانية (ax<sup>2</sup>+bx+c), المجموعة المكونة من عوامل ثنائية [[متجه|الأبعاد]] في المستوى، ومختلف [[زمرة منتهية|المجموعات المحدودة]] مثل [[زمرة دائرية|المجموعات الدورية]]، وهي من مجموعة [[حسابيات معيارية|الاعداد الصحيحة النمطية ن]]. [[نظرية المجموعات]] هي فرع من المنطق وليست فرعاً من الجبر فعلياً.

'''[[عملية ثنائية|العمليات الثنائية]]''': يستخرج مفهوم [[جمع|الجمع]] (+) لإعطاء عملية ثنائية، يقال عنها ∗. لا معنى لمفهوم العملية الثنائية دون المجموعة التي يتم بها تعريف العملية للعنصرين أ وب في المجموعة س. أ ∗ ب تعتبر عنصر آخر في المجموعة: تدعى هذه الحالة الإغلاق. يمكن أن تكون كلا من عملية [[جمع|الجمع]] (+) وال[[طرح]] (-) وال[[ضرب]] (×) و[[قسمة (رياضيات)|القسمة]] (÷) عمليات ثنائية عندما تعرف في مجموعات مختلفة كما في جمع وضرب المصفوفات، المتجهات ومتعددة الحدود.

'''[[عنصر محايد|العناصر المحايدة]]''': تستخرج الأرقام صفر وواحد لإعطاء مفهوم العنصر المحايد للعملية. الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع والواحد هو العنصر المحايد لعملية الضرب. لعملية ثنائية عامة ∗ العنصر المحايد يجب أن يحقق المعادلة التالية: أ ∗ ي = أ. وي ∗ أ = أ. وهذا ينطبق أيضاً على الجمع كما في المثال التالي: أ + 0 و 0 + أ = أ وفي حالة الضرب أ × 1 = أ، و 1 × أ = أ. ليس لكل المجموعات وتركيبات العملية عنصر محايد: على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة (3,2,1...) ليس لها عنصر محايد للجمع.

'''[[عنصر معاكس|العناصر العكسية]]''': الأرقام السالبة تنشأ التزاماً لمفهوم العناصر العكسية. ففي حالة الجمع، يكون معكوس العدد (أ)، (-أ). أما في حالة الضرب فيُكتب المعكوس (أ<sup>−1</sup>). العنصر المعكوس على الناحيتين العامة أ<sup>−1</sup> يحقق الخاصية التالية: أ×أ<sup>−1</sup> = 1 وأ<sup>−1</sup>×أ = 1.

'''[[عملية تجميعية|العملية التجميعية]]''': يحتوي جمع الأعداد الصحيحة على خاصية تسمى الخاصية التجميعية. بمعنى تجميع الأرقام داخل اقواس لتجمع لا تؤثر على حاصل الجمع. على سبيل المثال: (2+3)+4 = 2+(3+4). بشكل عام يصبح ال[[قانون تركيب داخلي|قانون]] (أ × ب)×ج = أ×(ب×ج). يشترك في هذه الخاصية معظم العمليات الثنائية، ماعدا الطرح أو القسمة أو ضرب ال[[أوكتونيون]].

'''[[عملية تبديلية|العملية التبديلية]]''': كلا من جمع وضرب الأعداد الحقيقة يعتبر عملية تبديلية. بمعنى ترتيب الأرقام في العملية لا يؤثر على النتيجة. على سبيل المثال، 2+3 = 3+2. بشكل عام هذا يصبح القانون: أ×ب = ب× أ. هذه الخاصية لا تنطبق لجميع العمليات الثنائية. على سبيل المثال، [[ضرب المصفوفات]] و[[كواتيرنيون|الضرب المركب المتعدد]] كلهما عمليات غير تبادلية.

=== مجموعات ===

''المقال الرئيسي: [[زمرة (رياضيات)]]''

''انظر أيضاً: [[نظرية الزمر]]''

تجميع المفاهيم العلوية تعطي واحدة من أهم القواعد في الرياضيات وهي:'''[[زمرة (رياضيات)|المجموعة]]'''. وتعرف المجموعة بأنها مجموعة (ع) مزودة ب[[عملية ثنائية]] واحدة (أ)، يمكن تعريفها بأي طريقة مختارة، ولكن مع الخصائص والشروط التالية:
* وجود هوية العنصر، حيث أن كل عضو (أ) ينتمي إلى المجموعة (س) فإن حاصل ضرب العضو (أ) في أي عنصر في E وحاصل ضرب E في A يكونان متطابقة
* كل عنصر لديه معكوس: لكل عضو أ ينتمي إلى المجموعة (س) وجود عضو أ<sup>−1</sup> بحيث حاصل الضرب العضو بمعكوسه أ × أ<sup>−1</sup> أو أ<sup>−1</sup> × أ فالنتيجة مطابقة للعنصر. ==
* خاصية العملية الترابطية: إذا أ وب وج هي أعضاء للمجموعة S، فإن العمليتين التاليتين مطابقتين لبعضهما البعض: (أ×ب)×ج = أ×(ب×ج).

و إذا هي [[عملية تبادلية|مجموعة تبادلية]] تطبيق عملية على عضوين أ وب ينتمون للمجموعة س فإن أ×ب = ب×أ ويطلق على المجموعة في هذه الحالة بأنها [[زمرة أبيلية]].

على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الصحيحة في إطار عملية الجمع هي مجموعة. في هذه المجموعة، العنصر المحايد هو الصفر ومعكوس أي عنصر أ لهو نقيض العنصر -أ. إذاً، تم استيفاء شرط الترابطيات، وذلك لأن لأي أعداد صحيحة أ، ب، ج، (أ+ب)+ج = أ+(ب + ج)

الأرقام غير صفرية النسبية تشيل مجموعة تحت عملية الضرب. العنصر المحايد هو 1، حيث أن 1×أ = أ×1 لأي عدد نسبي. القيمة العكسية [[عدد كسري|للعدد النسبي]] 1/أ هي حيث أن أ×1/أ = 1

لا تشكل الأعداد الصحيحة تحت عملية الضرب مجموعة. لان مقلوب العدد الصحيح لا يكون عدد صحيح. على سبيل المثال، العدد الصحيح هو 4 لكن مقلوب العدد 4 يكون 1\4 وهو ليس عدد صحيح.

تدرس نظرية المجموعات في [[نظرية الزمر]]. يعد [[تصنيف الزمر المنتهية البسيطة]] النتيجة الرئيسية في هذه النظرية، نشر معظمها بين عامي 1955 و 1983، والتي بدورها تقسم [[مجموعة منتهية|المجموعات المنتهية]] [[زمرة بسيطة|البسيطة]] إلى ما يقارب من 30 نوع أساسي.

تعد [[نصف زمرة|انصاف المجموعات]] المجموعات و[[شبه زمرة|أشباه المجموعات]] وال[[مونويد]] هياكل جبرية مماثلة للمجموعات، ولكنهم أكثر عمومية. ويشتملون على مجموعة وعملية ثنائية مغلقة، ولكنهم لا يحققون الشروط الأخرى بالضرورة. تحتوي نصف المجموعة على عملية ثنائية ترابطية. ولكن قد لا يكون لها عنصر محايد. تعد المونويد نصف مجموعة تحتوي على عنصر محايد ولكن قد لا يكون لها معكوس لكل عنصر. تحقق شبه المجموعة المتطلب الدال على إمكانية أي عنصر للتحول إلى أي عنصر آخر إما من خلال ضرب اليسار أو ضرب اليمين، ولكن في أي حالة العملية الثنائية قد لا تكون ترابطية.

تعد كل المجموعات [[مونويد]]، وتعد كل المونويد [[شبه زمرة|انصاف مجموعات]].

{| class="wikitable"
|-
| colspan=11|أمثلة
|-
!مجموعة:
| colspan=2|عددطبيعي '''N'''
| colspan=2|عدد صحيح '''Z'''
| colspan=4|عدد كسريQ (أيضاًعدد حقيقيR وعددمركب C))
| colspan=2|الأعداد الصحيحة: نمطية 3: Z3 = {0, 1, 2}}
|-
!عملية
| +
| × (دون الصفر)
| +
| × (دون الصفر)
| +
| -
| × (دون الصفر)
| ÷ (دون الصفر)
| +
| × (دون الصفر)
|-
!مُغلقة
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
|-
| مُطابقة
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| غ/م
| 1
| غ/م
| 0
| 1
|-
| مُعاكس
| غ/م
| غ/م
| -''أ''
| غ/م
| -''أ''
| غ/م
| 1/''أ''
| غ/م
| 0, 2, 1, على التوالي
| غ/م، 1, 2, على التوالي
|-
| تجميعية
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| لا
| نعم
| لا
| نعم
| نعم
|-
| تبديلية
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| نعم
| لا
| نعم
| لا
| نعم
| نعم
|-
| هيكلة
| [[مونويد]]
| [[مونويد]]
| [[زمرة أبيلية]]
| [[مونويد]]
| [[زمرة أبيلية]]
| [[شبه زمرة]]
| [[زمرة أبيلية]]
| [[شبه زمرة]]
| [[زمرة أبيلية]]
| [[زمرة أبيلية]] ('''Z'''<sub>2</sub>)
|}

=== الحلقات والحقول ===

''المقالات الرئيسية: [[حلقة (رياضيات)]] و[[حقل (رياضيات)|حقل رياضي]]''

''راجع أيضا: [[نظرية الحلقات]] و[[حقل (رياضيات)|حقل رياضي]]''

تمتلك المجموعات عملية ثنائية واحدة فقط. لشرح كامل عن سلوك الأنواع المختلفة من الأرقام والهياكل الرياضية بعاملين التي تحتاج إلى دراسة. وتعد أهمها الحلقات و[[حقل (رياضيات)|الحقول الرياضية]].

تملك '''[[حلقة (رياضيات)|الحلقة الرياضية]]''' عاملين ثنائيين (+) و (×)، مع الأخذ بالاعتبار بأن × توزيعي أكثر من +. وفقاً للعامل الأول (+) يشكل مجموعة تبادلية. ووفقاً للعامل الثاني (×) يكون تجميعي، ولكنه لا يحتاج إلى عنصر محايد أو معكوس، لذلك القسمة غير مطلوبة. يكتب العنصر المحايد الجمعي (+) 0 و[[معكوس جمعي|المعكوس الجمعي]] من أ يكتب -أ.

'''[[توزيعية|التوزيع]]''' (يعمم [[قانون تركيب داخلي|قانون توزيع الأرقام]]، ويحدد الترتيب الذي ينبغي ان يُطبق على العوامل (تسمى الأولية). للأعداد الصحيحة (أ + ب) × جـ =أ × جـ + ب × جـ أيضا جـ × (أ + ب) = جـ × أ + جـ × ب، ويسمى ذلك بتوزيع عملية الضرب × على الجمع +.

الأعداد الصحيحة عبارة مثال لحلقة. للأعداد الصحيحة خصائص إضافية تجعلها من مجال لا يتجزأ.

'''[[حقل (رياضيات)|الحقل]]''' عبارة عن حلقة مع خاصية إضافية حيث جميع العناصر - عدا الصفر - تشكل الزمرة التبادلية -أو الابيلية- تحت ×. يتم كتابة المضاعف (×) كـ 1 ومعكوس المضاعف يكتب <sup>−1</sup>أ.

الأعداد المنطقية، الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة هي أمثلة لحقول.

== معادلات كثيرة الحدود ومعادلات جبرية ==
ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تُناقش المساواة <math>\mathcal {}p(x)=0</math> أي المعادلات كثيرة الحدود، وهي صنف من المعادلات الجبرية. ومعظم المشاكل التي تُناقش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة؛ بل تُناقش بأسلوب الجبر التجريدي؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك.

== الجبر الشامل ==
{{مفصلة|جبر شامل}}
من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة <math>A\,</math> مزودة بمجموعة من العمليات على <math>A\,</math>. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على <math>A\,</math> تمثل [[دالة|دالة رياضية]] تأخذ <math>n\,</math> عنصر من المجموعة <math>A\,</math> وتعطي كنتيجة عنصراً وحيداً من <math>A\,</math>.

لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث <math>n=0\,</math> يمكن أن تمثل عنصراً وحيداً من <math>A\,</math> أو ما يدعى بالثابت غالباً يرمز له بحرف مثل <math>a\,</math>.

بالمقابل العملية الأحادية (حيث <math>n=1\,</math>) ببساطة عبارة عن دالة من <math>A\,</math> إلى <math>A\,</math> يمثل غالباً برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول <math>~a\,</math>. أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: <math>a*b\,</math>.

العمليات من رتب أعلى غالباً ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: <math>f(x, y, z)\,</math> أو <math>f(x_1,..., x_n)</math>.

يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات [[لامنتهية|لا منتهية]] (حيث <math>n=\infty\,</math>) مثل <math>\bigwedge_{\alpha} x_\alpha</math>، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية [[مشبك كامل|للمشابك الكاملة]].

يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من [[نظرية النموذج]] نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون [[علاقة (منطق)|علاقات]])، يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.

== كائنات جبرية ==
تستخدم كلمة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :
* [[دالة جبرية]]
* [[جبر على حقل]]
* [[جبر على مجموعة]]
* [[جبر بول]]ياني
* [[جبر إف]] [[جبر إف المرافق]]في [[نظرية الفئة|نظرية التصنيف]].
* [[جبر سيغما]].

== انظر أيضًا ==
{{روابط شقيقة}}
{{Div col|colwidth=30em}}
* [[جبر تبادلي]]
* [[متعددة حدود دويرانية]]
* [[معادلة ديوفانتية]]
* [[تحويل فورييه المتقطع]]
* [[فضاء ثنائي]]
* [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية]]
* [[صنف تكافؤ]]
* [[علاقة تكافؤ]]
* [[جبر خارجي]]
* [[حقل محدود (رياضيات)]]
* [[حذف غاوسي]]
* [[جبر هندسي]]
* [[فضاء هيلبرت]]
* [[جبر هوبف]]
* [[شبكة (نظرية الزمر)]]
* [[زمرة لي]]
* [[تفكيك مصفوفة]]
* [[اقتران متعدد الخطية]]
* [[عدد رباعي مركب]]
* [[دالة كسرية]]
* [[نظرية التمثيل]]
* [[جذور الوحدة (رياضيات)]]
* [[تفريق القيمة المنفردة]]
* [[نظرية طيفية]]
* [[موتر]]
* [[جبر الموترات]]
{{Div col end}}

== المراجع ==
{{مراجع}}

{{مواضيع مهمة في علم الجبر}}
{{فروع الرياضيات}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|جبر}}

[[تصنيف:جبر| ]]