عرض مصدر إثبات أن 22/7 أكبر من π

[[ملف:تأطير أرخميدس لط(عدد).png|تصغير|التأطير الذي وضعه أرخميدس للعدد باي]]
{{شريط جانبي الثابت باي}}
غالبًا ما يستخدم الكسر 22/7 أو 3+1/7 قيمةً تقريبيةً للعدد [[ط (رياضيات)|باي]]، وقد كان [[أرخميدس]] أول من فطن إلى جعله قيمةً مقربةً له حوالي سنة 250 ق.م. لكن [[عدد كسري|الكسر]] بذاته يعطي قيمة أكبر من قيمة العدد باي، حيث أنه عند قسمة الكسر نجد أنه يتطابق مع العدد باي حتى 3 رتب فقط (3.14) و بعدها تتجاوز قيمته قيمة العدد باي بنسبة حوالي 0.04%.<ref name="Lucas2005">{{استشهاد
  | الأخير = Lucas
  | الأول = Stephen
  | العنوان = Integral proofs that&nbsp;355/113&nbsp;>&nbsp;{{pi}}
  | journal = Australian Mathematical Society Gazette
  | volume = 32
  | issue = 4
  | الصفحات = 263–266
  | السنة = 2005
  | المسار = http://www.austms.org.au/wp-content/uploads/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf
  | mr = 2176249
  | zbl = 1181.11077| مسار الأرشيف = https://web.archive.org/web/20190412053624/http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf | تاريخ الأرشيف = 12 أبريل 2019 }}</ref><ref>{{استشهاد
  | الأخير = Havil
  | الأول = Julian
  | العنوان = Gamma. Exploring Euler's Constant
  | المكان = Princeton, NJ
  | الناشر = Princeton University Press
  | السنة = 2003
  | الصفحة = 96
  | mr = 1968276
  | zbl = 1023.11001
  | isbn = 0-691-09983-9}}</ref>

== البرهان على أن 22/7 أكبر من π ==
نعتبر التكامل: <math> \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx</math><br />
بما أن الدالة داخل التكامل قيمها موجبة بين 0 و 1، فالتكامل أكبر قطعا من 0.
قيمة هذا التكامل هي كالتالي:<br />
: <math>
\begin{align}
0 & < \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx \\[8pt]
& = \int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx\quad\text{(expansion of terms in the numerator)} \\[8pt]
& = \int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx \\
& {} \qquad \text{(polynomial long division)} \\[8pt]
& = \left.\left(\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\right)\,\right|_0^1 \quad \text{(definite integration)} \\[6pt]
& = \frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\quad (\text{since }\arctan(1) = \pi/4 \text{ and } \arctan(0) = 0) \\[8pt]
& = \frac{22}{7}-\pi>0. \quad \text{(addition)}
\end{align}
</math>
== المصادر ==
{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}

{{بذرة تحليل رياضي}}

[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:مقالات تحوي براهين رياضية]]